PDE数值解（一）PDE预备知识

由于偏微分方程数值解的学科特性，事实上这里仅仅是对知识点进行碓彻式学习，并不能有进一步深化的理解，望读者周知。

方程类型

1. 对流方程
   $$\mathbf{k}\cdot \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}=f(\mathbf{n})$$

2. 扩散方程
   $$\frac{\partial }{\partial \mathbf{n}}\cdot \mathbf{k}\circ \frac{\partial }{\partial \mathbf{n}}u+f(\mathbf{n})=\frac{\partial u}{\partial t}$$
   常系数时
   $$\mathbf{k}\cdot \Delta u+f(\mathbf{n})=\frac{\partial u}{\partial t}$$

3. 波动方程
   $$\mathbf{k}\cdot \Delta u+f(\mathbf{n})=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$$

4. Poisson方程
   $$-\Delta u=f(\mathbf{n})$$

事实上，我们了解方程模样的目的通常是，能够快速准确地判断出这些方程属于椭圆型、双曲型以及抛物型这三种方程类型的哪一种类型。下面我们将给出判则。

方程类型判则

对于二阶偏微分方程，有
$$a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+2b\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+c\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+R=0$$其中$R$为可能的一阶导数项或者常数项。此时有如下判断标准
$$\begin{gathered} b^2-ac>0\iff 椭圆型 \\ {b}^2-ac<0\iff 双曲型 \\ {b}^2-ac=0\iff 抛物型 \end{gathered}$$对于一阶偏微分方程组，其一般形式如下：
$$\frac{\partial u}{\partial y}-A(x,y,u)\frac{\partial u}{\partial x}+h(x,y,u)=0$$此时只需要判断$A(x,y,u)$的特征向量。
$$\begin{array}{rl}A(x,y,u)没有特征向量& \iff 椭圆型\\ A(x,y,u)有p个线性无关的特征向量& \iff 双曲型\\ A(x,y,u)有n个线性无关的特征向量& \iff 椭圆型\end{array}$$

方程的衡量指标

我们说一个方程，实际上无异于就是从方程的维数、方程的阶数、方程的类型。方程的维数，实际上就是$\mathbf{n}$的维数，我们特指PDE中包含的空间的维数；方程的阶数，就是方程中最高导数项对应的阶数。方程的类型已经在先前给出了，通过这些，我们就可以使用下述格式描述一个PDE。
$$X阶Y维的Z方程$$其中$X$代表方程阶数，$Y$代表方程维数，$Z$代表方程类型。