数值分析复习（七）——偏微分方程数值解法

七、偏微分方程数值解法

偏微分方程一般可分为抛物型方程、双曲型方程和椭圆型方程三种类型，其一般形式如下
$$\begin{array}{rl}& F(u_{xx},u_{xy},u_{yy},u_x,u_y,u,x,y)=A{u}_{xx}+B{u}_{xy}+C{u}_{yy}+\tilde{F}(u_x,u_y,u,x,y)=0\\ & △=B^2-4AC\{\begin{array}{rl}& =0\Rightarrow 抛物型\\ & >0\Rightarrow 双曲型\\ & <0\Rightarrow 椭圆型\end{array}\end{array}$$
用差分方法求微分方程近似解时常用公式（通过泰勒展开即可得到）
$$\begin{array}{rlr}& g^{{}^{\prime }}(x_0)=\frac{1}{h}[g(x_0+h)-g(x_0)]-\frac{h}{2}{g}^{{}^{\prime \prime }}({\xi }_1),{\xi }_1\in (x_0,x_0+h)& (0.1)\\ & g^{{}^{\prime }}(x_0)=\frac{1}{h}[g(x_0)-g(x_0-h)]+\frac{h}{2}{g}^{{}^{\prime \prime }}({\xi }_2),{\xi }_2\in (x_0-h,x_0)& (0.2)\\ & g^{{}^{\prime }}(x_0)=\frac{1}{h}[g(x_0+\frac{h}{2})-g(x_0-\frac{h}{2})]-\frac{h^2}{24}{g}^{{}^{\prime \prime \prime }}({\xi }_3),{\xi }_3\in (x_0-\frac{h}{2},x_0+\frac{h}{2})& (0.3)\\ & g^{{}^{\prime \prime }}(x_0)=\frac{1}{h^2}[g(x_0+h)-2g(x_0)+g(x_0-h)]-\frac{h^2}{12}{g}^{(4)}({\xi }_4),{\xi }_4\in (x_0-h,x_0+h)& (0.4)\\ & g(x_0)=\frac{1}{2}[g(x_0-h)+g(x_0+h)]-\frac{h^2}{2}{g}^{{}^{\prime \prime }}({\xi }_5),{\xi }_5\in (x_0-h,x_0+h)& (0.5)\end{array}$$

抛物型方程的差分方法

考虑下面的定解问题
$$\{\begin{array}{rlr}& \frac{\partial u}{\partial t}-a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),x\in (0,l),t\in (0,T)& (1.1)\\ & u(x,0)=\phi (x),x\in [0,l]& (1.2)\\ & u(0,t)=\alpha (t),u(l,t)=\beta (t),t\in [0,T]& (1.3)\end{array}$$
其中 $a$ 是正常数，$f$、$\phi$、$\alpha$、$\beta$ 是已知函数，满足 $\phi (0)=\alpha (0)$，$\phi (l)=\beta (0)$。假设上述定解问题存在唯一解 $u(x,t)$，且具有一定的光滑性

网格剖分

记 D={(x,t)∣0≤x≤l,0≤t≤T}D = \{(x,t)|0 \le x \le l,0 \le t \le T \}D={(x,t)∣0≤x≤l,0≤t≤T}，$h=\frac{l}{M}$，$\tau =\frac{T}{N}$，$x_i=ih(0\le i\le M)$，$t_k=k\tau (0\le k\le N)$，用两簇平行直线
$$\begin{gathered} x=x_i,i=0,1,..,M \\ t=t_k,k=0,1,...,N \end{gathered}$$
将区域 $D$ 分割成矩形网格。$h$ 和 $\tau$ 称为空间步长和时间步长，网格点 $(x_i,t_k)$ 称为节点。记 D‾h={(xi,tk)∣0≤i≤M,0≤k≤N}\overline{D}_h = \{(x_i, t_k)|0 \le i \le M, 0 \le k \le N \}Dh​={(xi​,tk​)∣0≤i≤M,0≤k≤N}，Dh={(xi,tk)∣1≤i≤M−1,1≤k≤N}D_h = \{(x_i, t_k)| 1 \le i \le M-1, 1 \le k \le N \}Dh​={(xi​,tk​)∣1≤i≤M−1,1≤k≤N}，${\Gamma }_h={\overline{D}}_h$\ $D_h$。称 $D_h$ 为内部节点，${\Gamma }_h$ 为边界节点。在位于 $t=t_k$ 上的所有节点称为第 $k$ 层节点。$u(x_i,t_k)$ 近似值可表示为 $u_i^k$

考虑在点 $(x_i,t_k)$ 处的方程
$$\frac{\partial u}{\partial t}(x_i,t_k)-a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x_i,t_k)=f(x_i,t_k)(1.4)$$

• 利用 $(0.1)$、$(0.4)$、初始条件 $(1.2)$ 和边界条件 $(1.3)$ 可得古典显格式（向前 Euler 格式）
• 利用 $(0.2)$、$(0.4)$、初始条件 $(1.2)$ 和边界条件 $(1.3)$ 可得古典隐格式（向后 Euler 格式）
• 利用 $(0.3)$、$(0.4)$、初始条件 $(1.2)$ 和边界条件 $(1.3)$ 可得 Richardson 格式

古典显格式

$$\{\begin{array}{rlr}& \frac{1}{\tau }(u_i^{k+1}-u_i^k)-\frac{a}{h^2}(u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k)=f(x_i,t_k),1\le i\le M-1,0\le k\le N-1& (1.6)\\ & u_i^0=\phi (x_i),1\le i\le M-1& (1.7)\\ & u_0^k=\alpha (t_k),u_M^k=\beta (t_k),0\le k\le N& (1.8)\end{array}$$

记 $r=\frac{a\tau }{h^2}$，称 $r$ 是步长比，则 $(1.6)$ 式可改写为
$$u_i^{k+1}=(1-2r)u_i^k+r(u_{i-1}^k+u_{i+1}^k)+\tau f(x_i,t_k)$$
从而差分格式 $(1.6)-(1.8)$ 可改写成向量和矩阵形式
$$\left[\begin{array}{c}{u}_1^{k+1}\\ u_2^{k+1}\\ ⋮\\ u_{M-2}^{k+1}\\ u_{M-1}^{k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1-2r& r& & & \\ r& 1-2r& r& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & r& 1-2r& r\\ & & & r& 1-2r\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1^k\\ u_2^k\\ ⋮\\ u_{M-2}^k\\ u_{M-1}^k\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\tau f(x_1,t_k)+r\alpha (t_k)\\ \tau f(x_2,t_k)\\ ⋮\\ \tau f(x_{M-2},t_k)\\ \tau f(x_{M-1},t_k)+r\beta (t_k)\end{array}\right]k=0,1,...,N-1$$

其截断误差如下
$$R_{ik}^{(1)}=\frac{\tau }{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}(x_i,{\eta }_i^k)-\frac{a{h}^2}{12}\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}({\xi }_i^k,t_k),{\eta }_i^k\in (t_k,t_{k+1}),{\xi }_i^k\in (x_{i-1},x_{i+1})$$

古典隐格式

$$\{\begin{array}{rlr}& \frac{1}{\tau }(u_i^k-u_i^{k-1})-\frac{a}{h^2}(u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k)=f(x_i,t_k),1\le i\le M-1,1\le k\le N& (1.11)\\ & u_i^0=\phi (x_i),1\le i\le M-1& (1.12)\\ & u_0^k=\alpha (t_k),u_M^k=\beta (t_k),0\le k\le N& (1.13)\end{array}$$

将其改写成矩阵形式
$$\left[\begin{array}{ccccc}1+2r& -r& & & \\ -r& 1+2r& -r& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -r& 1+2r& -r\\ & & & -r& 1+2r\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1^k\\ u_2^k\\ ⋮\\ u_{M-2}^k\\ u_{M-1}^k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}_1^{k-1}\\ u_2^{k-1}\\ ⋮\\ u_{M-2}^{k-1}\\ u_{M-1}^{k-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\tau f(x_1,t_k)+r\alpha (t_k)\\ \tau f(x_2,t_k)\\ ⋮\\ \tau f(x_{M-2},t_k)\\ \tau f(x_{M-1},t_k)+r\beta (t_k)\end{array}\right]k=1,2，...,N$$

其截断误差如下
$$R_{ik}^{(2)}=-\frac{\tau }{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}(x_i,{\eta }_i^k)-\frac{a{h}^2}{12}\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}({\xi }_i^k,t_k),{\eta }_i^k\in (t_{k-1},t_k),{\xi }_i^k\in (x_{i-1},x_{i+1})$$

Richardson

• Richardson 格式是一个 3 层格式，需要知道 (k-1) 层和 k 层的值才能求出第 (k+1) 层的值
• Richardson 格式是完全不稳定的格式，无实用价值

Crank-Nicolson

为了提高时间方向的精度，记 $t_{k+\frac{\tau }{2}}=t_k+\frac{\tau }{2}$，考虑点 $(x_i,t_{k+\frac{\tau }{2}})$ 处的微分方程
$$\frac{\partial u}{\partial t}(x_i,t_{k+\frac{\tau }{2}})-a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x_i,t_{k+\frac{\tau }{2}})=f(x_i,t_{k+\frac{\tau }{2}})$$
利用中心差商 $(0.3)$、平均公式 $(0.5)$ 和二阶差商公式 $(0.4)$ 可得 Crank-Nicolson 格式
$$\{\begin{array}{rlrl}& \frac{u_i^{k+1}-u_i^k}{\tau }-a\cdot \frac{1}{2}\left[\frac{u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k}{h^2}+\frac{u_{i+1}^{k+1}-2u_i^{k+1}+u_{i-1}^{k+1}}{h^2}\right]=f(x_i,t_{k+\frac{\tau }{2}}),1\le i\le M-1,0\le k\le N-1& & (1.19)\\ & u_i^0=\phi (x_i),1\le i\le M-1& & (1.20)\\ & u_0^k=\alpha (t_k),u_M^k=\beta (t_k),0\le k\le N& & (1.21)\end{array}$$

其截断误差如下
$$\begin{gathered} R_{ik}^{(3)}=\frac{{\tau }^2}{24}\frac{{\partial }^{3}u}{\partial t^3}(x_i,{\eta }_i^k)-\frac{a{h}^2}{24}\left[\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}({\xi }_i^k,t_k)+\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}({\tilde{\xi }}_i^k,t_{k+1})\right]-\frac{a{\tau }^2}{8}\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^2\partial t^2}(x_i,{\overline{\eta }}_i^k), \\ {\eta }_i^k\in (t_k,t_{k+1}),{\overline{\eta }}_i^k\in (t_k,t_{k+1}),{\xi }_i^k\in (x_{i-1},x_{i+1}),{\tilde{\xi }}_i^k\in (x_{i-1},x_{i+1}) \end{gathered}$$

差分格式的稳定性和收敛性

• 古典显（隐）格式和 Crank-Nicolson 格式为两层格式，Richardson 格式为三层格式
• 记 ${\Omega }_h=(x_0,x_1,...,x_M)$，称 $\omega =({\omega }_0,{\omega }_1,...,{\omega }_M)$ 为 ${\Omega }_h$ 上的网格函数。记 W={ω∣ωW = \{\omega|\omegaW={ω∣ω 为 ${\Omega }_h$ 上的网格函数 $\}$，称 $W$ 为网格函数空间。
• 设 {uik∣0≤i≤M,0≤k≤N}\{u_i^k|0 \le i \le M,0 \le k \le N \}{uik​∣0≤i≤M,0≤k≤N} 是差分格式的解，定义 $u^k=(u_0^k,u_1^k,...,u_M^k)$，则 $u^k$ 为 ${\Omega }_h$ 上的网格函数

设 $\omega \in W$，定义下面的范数：
$$\begin{array}{rl}& L_2-范数：\parallel \omega {\parallel }_2=\sqrt{h\left[\frac{1}{2}(w_0{)}^2+\sum _{i=1}^{M-1}(w_i{)}^2+\frac{1}{2}({\omega }_M{)}^2\right]}\\ & L_{\infty }-范数：\parallel \omega {\parallel }_{\infty }=\underset{0\le i\le M}{\max }|{\omega }_i|\\ & L_1-范数：\parallel \omega {\parallel }_1=h\left[\frac{1}{2}|\omega |+\sum _{i=1}^{M-1}|{\omega }_i|+\frac{1}{2}|{\omega }_M|\right]\end{array}$$
注：$h$ 为空间步长

稳定性

设 {uik∣0≤i≤M,0≤k≤N}\{u_i^k|0 \le i \le M, 0 \le k \le N \}{uik​∣0≤i≤M,0≤k≤N} 是差分格式的解，{vik∣0≤i≤M,0≤k≤N}\{v_i^k|0 \le i \le M, 0 \le k \le N \}{vik​∣0≤i≤M,0≤k≤N} 是由于初始数据有误差而得到的差分格式的近似解，记
$${ϵ}_i^k=u_i^k-v_i^k,0\le i\le M,0\le k\le N$$
如果存在与步长 $h$，$\tau$ 无关的常数 $C$，使得
$$\begin{array}{rl}& \parallel {ϵ}^k\parallel \le C\parallel {ϵ}^0\parallel ,1\le k\le N（两层格式）\\ & \parallel {ϵ}^k\parallel \le C(\parallel {ϵ}^0\parallel +\parallel {ϵ}^1\parallel ),1\le k\le N（三层格式）\end{array}$$
则称该差分格式关于范数 $\parallel \cdot \parallel$ 是稳定的，否则称不稳定。

• $r=\frac{a\tau }{h^2}>0$
• 当步长比 $r\le \frac{1}{2}$ 时，古典显格式关于 $L_{\infty }$ 范数是稳定的；当 $r>\frac{1}{2}$ 时，其关于 $L_{\infty }$ 范数不稳定
• 对任意步长比 $r$，古典隐格式关于 $L_{\infty }$ 范数是稳定的
• 对任意步长比 $r$，Crank-Nicolson 格式关于 $L_2$ 范数是稳定的
• 对任意步长比 $r$，Richardson 格式关于 $L_{\infty }$ 范数和 $L_2$ 范数都是不稳定的

收敛性

设 $U_i^k=u(x_i,t_k)$ 是微分方程定解问题的解，$u_i^k$ 是对应的差分格式的解，记
$$e_i^k=U_i^k-u_i^k,0\le i\le M,0\le k\le N$$
若
$$\underset{h\to 0,\tau \to 0}{\lim }\underset{0\le k\le N}{\max }\parallel e^k\parallel =0$$
则称差分格式在范数 $\parallel \cdot \parallel$ 下是收敛的。如果
$$\underset{0\le k\le N}{\max }\parallel e^k\parallel =O(h^p+{\tau }^q)$$
则称差分格式关于空间步长 $p$ 阶、关于时间步长 $q$ 阶收敛

• 当步长比 $r\le \frac{1}{2}$ 时，古典显格式在 $L_{\infty }$ 范数下关于空间步长 2 阶、关于时间步长 1 阶收敛
• 对任意步长比 $r$，古典隐格式在 $L_{\infty }$ 范数下关于空间步长 2 阶、关于时间步长 1 阶收敛
• 对任意步长比 $r$，Crank-Nicolson 格式在 $L_2$ 范数下关于空间步长和时间步长都是 2 阶收敛的

双曲型方程的差分方法

考虑下面的初边值问题
$$\{\begin{array}{rlrl}& \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),& & 0<x<l,0<t<T\\ & u(x,0)=\phi (x),u_t(x,0)=\psi (x),& & 0<x<l\\ & u(0,t)=\alpha (t),u(l,t)=\beta (t),& & 0\le t\le T\end{array}$$
记 $h=\frac{l}{M}$，$\tau =\frac{T}{N}$，$x_i=ih$，$t_k=k\tau$

考虑点 $(x_i,t_k)$ 处的方程（显格式和隐格式）
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}(x_i,t_k)-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x_i,t_k)=f(x_i,t_k)$$

• 利用二阶差商 $(0.4)$、初边值条件和泰勒展开可得显格式
• 利用二阶差商 $(0.4)$、平均公式 $(0.5)$ 和初边值条件可得隐格式

显格式

$$\{\begin{array}{rlrl}& \frac{1}{{\tau }^2}(u_i^{k+1}-2u_i^k+u_i^{k-1})-\frac{a^2}{h^2}(u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k)=f(x_i,t_k),1\le i\le M-1,1\le k\le N-1& & (3.2)\\ & u_i^0=\phi (x_i),u_i^1=\Psi (x_i),1\le i\le M-1& & (3.3)\\ & u_0^k=\alpha (t_k),u_M^k=\beta (t_k),0<k<N& & (3.4)\end{array}$$

注：$\Psi (x_i)=\phi (x_i)+\tau \psi (x_i)+\frac{{\tau }^2}{2}[a^2{\phi }^{{}^{\prime \prime }}(x_i)+f(x_i,0)]$

其截断误差如下
$$R_{ik}=\frac{{\tau }^2}{12}\frac{{\partial }^{4}u}{\partial t^4}(x_i,{\eta }_i^k)-\frac{a^2{h}^2}{12}\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}({\xi }_i^k,t_k),{\eta }_i^k\in (t_{k-1},t_{k+1}),{\xi }_i^k\in (x_{i-1},x_{i+1})$$
记 $s=\frac{a\tau }{h}$，$s$ 称为步长比，则可将上面差分格式改写为
$$u_i^{k+1}=s^2(u_{i+1}^k+u_{i-1}^k)+2(1-s^2)u_i^k-u_i^{k-1}+{\tau }^{2}f(x_i,t_k),1\le i\le M-1,1\le k\le N-1$$

• 当步长比 $s\le 1$ 时，显式差分格式 $(3.2)-(3.4)$ 在 $L_2$ 范数下是稳定的；当步长比 $s>1$ 时，在 $L_2$ 范数下是不稳定的
• 当步长比 $s\le 1$ 时，显式差分格式 $(3.2)-(3.4)$ 在 $L_2$ 范数下关于空间步长和时间步长都是二阶收敛的

隐格式

$$\{\begin{array}{rlrl}\frac{1}{{\tau }^2}& (u_i^{k+1}-2u_i^k+u_i^{k-1})-\frac{a^2}{2h^2}(u_{i+1}^{k+1}-2u_i^{k+1}+u_{i-1}^{k+1}+u_{i+1}^{k-1}-2u_i^{k-1}+u_{i-1}^{k-1})& & \\ & =f(x_i,t_k),1\le i\le M-1,1\le k\le N-1& & (3.6)\\ u_i^0& =\phi (x_i),u_i^1=\Psi (x_1),1\le i\le M-1& & (3.7)\\ u_0^k& =\alpha (t_k),u_M^k=\beta (t_k),0\le k\le N& & (3.8)\end{array}$$

• 对任意步长比 $s$，隐式差分格式 $(3.6)-(3.8)$ 在 $L_2$ 范数下是稳定的
• 对任意步长比 $s$，上述隐式差分格式在 $L_2$ 范数下关于空间步长和时间步长都是二阶收敛的

其截断误差如下
$$\begin{gathered} R_{ik}=-\frac{a^2{\tau }^2}{2}\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^2\partial t^2}(x_i,{\overline{\eta }}_i^k)+\frac{{\tau }^2}{12}\frac{{\partial }^{4}u}{\partial t^4}(x_i,{\eta }_i^k)-\frac{a^2{h}^2}{24}\left[\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}({\overline{\xi }}_i^{k+1},t_{k+1})+\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}({\overline{\xi }}_i^{k-1},t_{k-1})\right] \\ {\eta }_i^k\in (t_{k-1},t_{k+1}),{\overline{\eta }}_i^k\in (t_{k-1},t_{k+1}),{\overline{\xi }}_i\in (x_{i-1},x_{i+1}) \end{gathered}$$

椭圆型方程的差分方法

考虑二维 Poisson 方程 Dirichlet 边值问题
$$\{\begin{array}{rlrlrl}& -(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2})=f(x,y)& & (x,y)\in \Omega & & (4.1)\\ & u=\phi (x,y)& & (x,y)\in \Gamma & & (4.2)\end{array}$$
其中 $\Omega$ 为矩形区域 Ω={(x,y)∣a<x<b,c<y<d}\Omega = \{(x, y)|a \lt x \lt b, c \lt y \lt d \}Ω={(x,y)∣a<x<b,c<y<d}，$\Gamma$ 是 $\Omega$ 的边界

差分格式的建立

将区间 $[a,b]$ 作 $m$ 等分，将 $[c,d]$ 作 $n$ 等分，记 $h_1=\frac{b-a}{m}$，$h_2=\frac{d-c}{n}$，$x_i=a+i{h}_1(0\le i\le m)$，$y_j=c+j{h}_2(0\le j\le n)$。称 $h_1$ 和 $h_2$ 为 $x$ 方向和 $y$ 方向的步长，用平行线
$$\begin{array}{rlrl}& x=x_i& & 0\le i\le m\\ & y=y_j& & 0\le j\le n\end{array}$$
将 $\Omega$ 剖分为 $mn$ 个小矩形，交点 $(x_i,y_j)$ 称为网格节点，记
Ωh={(xi,yj)∣0≤i≤m,0≤j≤n}Ωh∘={(xi,yj)∣1≤i≤m−1,1≤j≤n−1} \begin{aligned} &\Omega_h = \{ (x_i, y_j)| 0 \le i \le m, 0 \le j \le n \} \\ &\Omega_h^{\circ} = \{ (x_i, y_j)| 1 \le i \le m-1, 1 \le j \le n-1 \} \\ \end{aligned} ​Ωh​={(xi​,yj​)∣0≤i≤m,0≤j≤n}Ωh∘​={(xi​,yj​)∣1≤i≤m−1,1≤j≤n−1}​
称 ${\Omega }_h^{\circ }$ 为内节点，称 ${\Gamma }_h={\Omega }_h$\ ${\Omega }_h^{\circ }$ 为边界节点。记
ω≡{(i,j)∣(xi,yj)∈Ωh∘},γ≡{(i,j)∣(xi,yj)∈Γh} \omega \equiv \{ (i, j)|(x_i, y_j) \in \Omega_h^{\circ} \},\quad \gamma \equiv \{ (i, j)|(x_i, y_j) \in \Gamma_h \} ω≡{(i,j)∣(xi​,yj​)∈Ωh∘​},γ≡{(i,j)∣(xi​,yj​)∈Γh​}
在节点 $(x_i,y_j)$ 处考虑边值问题
$$\{\begin{array}{rlrlrl}& -\left[\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x_i,y_j)+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}(x_i,y_j)\right]=f(x_i,y_j)& & (i,j)\in \omega & & (4.3)\\ & u(x_i,y_j)=\phi (x_i,y_j)& & (i,j)\in \gamma & & (4.4)\end{array}$$

五点差分格式

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{rlrlrl}& -({\delta }_x^{2}u+{\delta }_y^{2}u)=f(x_i,y_j)& & (i,j)\in \omega & & (4.8)\\ & u_{ij}=\phi (x_i,y_j)& & (i,j)\in \gamma & & (4.9)\end{array} \\ {\delta }_x^{2}u=\frac{1}{h_1^2}\left[u_{i-1,j}-2u_{ij}+u_{i+1,j}\right] \\ {\delta }_y^{2}u=\frac{1}{h_2^2}\left[u_{i,j-1}-2u_{ij}+u_{i,j+1}\right] \end{gathered}$$

注：$U_{ij}=u(x_i,y_j)$，而 $u_{ij}$ 为 $U_{ij}$ 的近似

其截断误差如下
$$R_{ij}=-\frac{1}{h_1^2}\left[u(x_{i-1},y_j)-2u(x_i,y_j)+u(x_{i+1},y_j)\right]-\frac{1}{h_2^2}\left[u(x_i,y_{j-1})-2u(x_i,y_j)+u(x_i,y_{j+1})\right]-f(x_i,y_j)$$

• 差分格式 $(4.8)-(4.9)$ 存在唯一解
• 设 {u(x,y)∣a≤x≤b,c≤y≤d}\{ u(x, y)|a \le x \le b, c \le y \le d \}{u(x,y)∣a≤x≤b,c≤y≤d} 是定解问题 $(4.1)-(4.2)$ 的解，{uij∣0≤i≤m,0≤j≤n}\{ u_{ij}| 0 \le i \le m, 0 \le j \le n \}{uij​∣0≤i≤m,0≤j≤n} 为差分格式 $(4.8)-(4.9)$ 的解，则有

$$\begin{array}{rl}& \underset{(i,j)\in \omega }{\max }|u(x_i,y_j)-u_{ij}|\le \frac{M_4}{48}\left[(\frac{b-a}{2}{)}^2+(\frac{d-c}{2}{)}^2\right](h_1^2+h_2^2)\\ & \\ & M_4=\max \left\{\underset{(x,y)\in \overline{\Omega }}{\max }\left|\frac{{\partial }^{4}u(x,y)}{\partial x^4}\right|,\underset{(x,y)\in \overline{\Omega }}{\max }\left|\frac{{\partial }^{4}u(x,y)}{\partial y^4}\right|\right\}\end{array}$$

• 当步长 $h_1$ 和 $h_2$ 同时缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ 时，最大误差约缩小到原来的 $\frac{1}{4}$