实变函数（三） Proof Skill

在这里我们点出集合论中的一些证明技巧，由于事实上是已经略过去的知识，这里仅仅做简单地总结。

两个集合对等的证明

事实上，根据定义有$A\sim B\iff \exists 1-1mapf:A\to B$。然而一个即单又满的映射实际上并不容易找到，为了增添证法的多样性，给出以下引理。
我们知道，$A\sim B\iff \overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}$，事实上，如果存在一个单射$f:A\to B$，则有$\overline{\overline{A}}\ge \overline{\overline{B}}$；根据上述定理，我们不难将结论进行推广，只需要有两个单射$f_1:A\to B$以及$f_2:B\to A$，则有$\overline{\overline{A}}\ge \overline{\overline{B}}and\overline{\overline{A}}\le \overline{\overline{B}}$，即等价于有$\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}$，这就是伯恩斯坦（Bernstein）定理。除此之外，事实上通过另一个引理就可以将证明推广到一个维度，我们将直接给出：如果$\exists injectivemap{f}_1:A\to B$，那么等价于$\exists surjectivemap{f}_2:B\to A$。这样我们找一个单射的问题事实上就等价于对偶地寻找一个满射的问题。按照此逻辑，我们可以将最开始的需要寻找一个即单又满的映射的需求转化为，可以寻找两个单射的需求，进一步转化又可以为寻找两个映射，一个为单射，一个为满射。