群的四种性质

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#抽象代数

1. {Z,+}是否为群？若是，验证其满⾜群定义；若不是，说明理由。
2. {N,+} 是否为群？若是，验证其满⾜群定义；若不是，说明理由。
其中 Z 为整数集， N 为⾃然数集。

群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构。

它需要满足四种性质“凤姐咬你”，也就是“封结幺逆”：

如果把逆定义成-1次方的话，1，2应该都是群

离散数学实验七 群的判定
努力学习的小菜同学
06-13 7612
一、实验目的 掌握群的判定方法。 一、实验内容 输入代数系统(A,)的集合A和运算的运算表，判断(A，*)是否是群。 三、实验源程序及结果截图 1.实验源程序： #include <stdio.h> #include <stdlib.h> int judge(int b){ } int main() { int n,i,j,k,l; printf("请输入集合中元素的个数：\n"); scanf("%d",&n); int a[n+1]; printf("请输
近世代数--群--怎么判断是不是群？
qq_41545715的博客
11-16 4744
近世代数--群--群的等价定义左单位元 左逆元xa=bxa=bxa=b ay=b有解ay=b有解ay=b有解 博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。 对于群的定义，最基本 封闭性 结合性 单位元 逆元 左单位元 左逆元 封闭性 结合性 左单位元 左逆元 xa=bxa=bxa=b ay=b有解ay=b有解ay=b有解 封闭性 结合性 xa=b,ay=bxa=b,ay=bxa=b,ay=b有解 ...
离散数学——群的判定，java代码实现
lickdog的博客
11-09 2408
实验目的： 群的判定 实验内容： 输入代数系统<A，>的集合A和运算的运算表，判定<A，*>是否是群。 实验要求： 提供输入接口； 提供输出结果； 元素集合中的元素至少有3个； 上传程序源代码文件和运行效果截图。 设*是定义在集合A上的二元运算： 集合A非空、封闭即是广群； 在广群的基础上对任意X,Y,Z∈A 有(X*Y)*Z=X*(Y*Z)，可结合的，则它是半群； 在半群的基础上含有幺元（X*幺元=X,幺元*X=X,X∈A），则它是独异点（含幺半群）； 在独异点基础上其内部每个.
【抽代复习笔记】07-群（一）
2201_76067910的博客
04-09 1974
②假定群(G,o)满足第二定义，根据公理（4）和公理（5），群(G,o)存在左单位元e、以及任意G中任意元素a均存在左逆元a1，那么对于方程a o x = b，方程两边同时左乘a的左逆元，可得：a1 o (a o x) = (a1 o a) o x = e o x = x = a1 o b，因为a1,b∈G，根据公理（1）的封闭性，可得x = a1 o b∈G，这就证明了对任意的a,b∈G，方程a o x = b在G中都有解；公理（4）：存在e∈G，对任意的a∈G，都有：e o a = a；
群的判定
追风者
05-20 2988
传送门：http://acm.sdut.edu.cn/onlinejudge2/index.php/Home/Contest/contestproblem/cid/2882/pid/4171 Time Limit:1000 msMemory Limit:65536 KiB SubmitStatistic Problem Description 设D为非负子数集，二元运算+为模M加法...
对称群S4及其正规子群A4、K4的若干性质 (2009年)
05-19
对称群S4及其正规子群A4、K4的若干性质涉及群论的基本概念和定理，主要内容包括对称群的定义、正规子群的性质、交错群和Klein四元群的结构以及它们之间的关系分析。 首先，对称群的定义阐述了对称群的数学概念。...
群矩阵的性质及应用 (2005年)
05-19
### 群矩阵的性质及应用 #### 一、引言与定义 在数学领域，尤其是代数结构中，群论作为一种重要的工具被广泛应用于各个领域。本文将探讨群矩阵的概念及其性质，以及如何利用这一概念来研究群的性质。 **群矩阵**...
周期FC群的几种Frattini性质 (2011年)
06-12
在群论中，特别是在抽象代数的范畴内，群是一种代数结构，其包含了若干个元素以及在这些元素间的一个二元操作，满足四个基本条件：封闭性、结合律、存在单位元和每个元素都存在逆元。群的研究是代数学的基础分支之一...
由群的元素性质确定的群的根性 (2010年)
05-28
群论是数学中研究群结构的理论，它在抽象代数中占有核心地位。群是由一组元素以及一个定义在这些元素上的二元...通过群的根性来研究群的结构和性质是一种强有力的工具，可以应用到无限群论以及其他数学分支的研究中去。
子群的单侧陪集、双侧陪集及其性质 (2007年)
04-22
群论是抽象代数的一个分支，它研究群的性质和结构，其中群是一种代数结构，包含一个集合以及在集合上定义的一个二元运算，满足四个条件：封闭性、结合律、存在单位元、每个元素存在逆元。在群论中，当我们有一个群G...
视觉slam学习笔记以及课后习题《第三讲李群李代数》
m0_61238051的博客
10-12 869
前言 这篇博客主要记录了我在深蓝学院视觉slam课程中的课后习题，因为是为了统计知识点来方便自己以后查阅，所以有部分知识可能不太严谨，如果给大家造成了困扰请见谅，大家发现了问题也可以私信或者评论给我及时改正，欢迎大家一起探讨。其他章的笔记可以在我的首页文章中查看。 整个作业的代码和文档都可以参考我的GitHub存储库GitHub - 1481588643/vslam 如果想要了解视觉slam其他章节的内容，也可以查阅以下链接 https://blog.youkuaiyun.com/m0_61238051/ar.
深蓝-视觉slam-第三节习题
weixin_46417419的博客
04-08 1539
1，群的性质 群(Group)：一种集合 + 一种运算 的代数结构。把集合记作A，运算记作.,群可记作G =(A,.)。能否成群需要满足以下几个性质： （1）.封闭性：∀\forall∀a1,a2∈\in∈A, a1 ⋅\cdot⋅ a2 ∈\in∈A （2）.结合律：∀\forall∀a1,a2,a3 ∈\in∈A, (a1⋅\cdot⋅a2)⋅\cdot⋅a3 = a1⋅\cdot⋅(a2⋅\cdot⋅a3) （3）.幺元：∃\exists∃a0 ∈\in∈A, s.t ∀\forall∀a ∈\i
【离散数学】代数结构中群的概念以及判断一个代数系统是否为群
Sky*殇的博客
03-20 3237
群的概念： 每个元素都有逆元的独异点（幺半群），称为群 例题1： 例题2： 总结：
SLAM与李群李代数
weixin_43205582的博客
10-21 661
SLAM与李群李代数概念李群与李代数的映射关系SO(3)上SE(3)上 概念 群是什么？ 官方概念：是一种集合加上一种运算的代数结构，且该运算满足“封结幺逆”四个性质 例如： 旋转矩阵满足一下性质 RRT=I,det(R)=1RR^T=I,det(R)=1RRT=I,det(R)=1 那么可以得到一个旋转矩阵集合 SO(3)={R∈ℜ3×3∣RRT=I,det(R)=1}SO(3)= \left...
【代数结构】群 ( 群的定义 | 群的基本性质 | 群的证明方法 | 交换群 )
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【SLAM十四讲】第四讲 李群与李代数 部分证明（包括习题）
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第四讲 李群与李代数 第四讲概述 从什么是群（封结幺逆），什么是李代数（封双自雅）和李群开始引入基础 然后揭开李群与李代数之间的联系（指数映射与对数映射）/另一种罗德里格斯的证法(利用exp的泰勒展开) 最后揭开李代数的求导：1）利用BCH近似和泰勒近似的求导模型 和 扰动模型(没有J更好算) 相比书中原文，更喜欢另一篇李群李代数这里的讲解，链接见下。 白巧克力 https://blog...
视觉SLAM理论入门——（3）李群与李代数
floatinglong的博客
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群的概念 群是一种集合加上一种运算的代数结构，若记集合为，运算为，则群记为。群满足以下性质（封结幺逆）： 1、封闭性 2、结合律 3、幺元 4、逆 李群与李代数 定义 李群是指具有连续光滑性质的群，整数群是离散的群，不是李群。前面说的特殊正交群和特殊欧氏群都属于李群（一个刚体可在空间中连续光滑旋转、平移）。 这两个李群对加法不封闭，但是对乘法封闭（两个旋转矩阵相乘表示做了两次旋转）： 每个李群都有与之对应的李代数，李代数描述了李群的局部性质，定义如下： 李.
半群与群
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半群与独异点半群与独异点的定义 定义设V=>是代数系统,为二元运算,如果运算是可结合的,则称V为半群设V=>是半群,若e∈S是关于运算的单位元,则称V是含幺半群,也叫做独异点。有时也将独异点V记作V=,e>.例11.1 (1)+,+>,,,,都是半群,+是普通加法。这些半群中除+,+>外都是独异点。
视觉SLAM十四讲 第4讲 李群与李代数
sinat_39659902的博客
06-12 1107
1、理解李群 旋转矩阵SO(3),变换矩阵SE(3) 2、理解李代数 旋转矩阵so(3),变换矩阵se(3) 3、理解扰动模型（李代数） 4、sophus库运算 文章目录0. 引言 0. 引言 为什么引入李群与李代数？\color{red}{为什么引入李群与李代数？}为什么引入李群与李代数？ SLAM是通过最优化R,t使得误差最小，使得观测数据最贴合实际 ...
Klein四元群
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03-23
### Klein Four-Group 的数学定义与性质 #### 定义 Klein four-group 是一种特殊的有限阿贝尔群，通常记作 \( V_4 \) 或者 \( C_2 \times C_2 \)[^1]。它由四个元素组成，分别是单位元 \( e \)，以及另外三个满足特定关系的元素 \( a, b, c \)。其乘法表如下所示： | | \( e \) | \( a \) | \( b \) | \( c \) | |-------|---------|----------|----------|----------| | **\( e \)** | \( e \) | \( a \) | \( b \) | \( c \) | | **\( a \)** | \( a \) | \( e \) | \( c \) | \( b \) | | **\( b \)** | \( b \) | \( c \) | \( e \) | \( a \) | | **\( c \)** | \( c \) | \( b \) | \( a \) | \( e \) | 该群可以被描述为两个二阶循环群的直积 \( C_2 \times C_2 \)。 #### 性质 1. **交换性**：Klein four-group 是一个阿贝尔群，这意味着对于任意两个元素 \( u, v \in V_4 \)，都有 \( uv = vu \)[^1]。 2. **子群结构**：Klein four-group 拥有多个真子群。具体来说，它包含三个不同的二阶子群和一个三阶子群。这些子群的存在可以通过拉格朗日定理验证，即任何子群的阶数必须整除原群的阶数。 3. **同构特性**：Klein four-group 同构于对称群 \( S_3 \) 中的一个正规子群。这种同构关系揭示了它在更广泛的代数组合中的重要地位。 4. **自同态环**：由于 \( V_4 \cong C_2 \times C_2 \)，它的自同态形成一个二维向量空间上的线性变换集合。 以下是 Python 实现用于展示 Klein four-group 运算逻辑的小程序： ```python class KleinFourGroup: def __init__(self): self.elements = ['e', 'a', 'b', 'c'] def multiply(self, x, y): table = { ('e', 'e'): 'e', ('e', 'a'): 'a', ('e', 'b'): 'b', ('e', 'c'): 'c', ('a', 'e'): 'a', ('a', 'a'): 'e', ('a', 'b'): 'c', ('a', 'c'): 'b', ('b', 'e'): 'b', ('b', 'a'): 'c', ('b', 'b'): 'e', ('b', 'c'): 'a', ('c', 'e'): 'c', ('c', 'a'): 'b', ('c', 'b'): 'a', ('c', 'c'): 'e' } return table[(x, y)] group = KleinFourGroup() print(group.multiply('a', 'b')) # 输出应为 'c' ```
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