信号与系统（day5）

        之前我们提到，当得到一段信号后，如果没有任何先验信号的条件下，我们根据直觉（示波器等），首先是从时域角度看是否有发现，其次是将信号转换到频域进行分析。因此，傅立叶变换在信号分析里面有不可替代的作用。

        然而，使用傅立叶变换的前提，需要满足狄利克雷三个充分条件。然而我们根据函数特性知道，指数函数e（-x）是随着自变量递增函数值衰减最快的信号之一，对于未知信号乘以e（-x）后，就很容易满足三个充分条件之一：绝对可积性。这时的这种傅立叶变换，就是我们今天要讨论的拉普拉斯变换。而傅立叶变换，可以看作拉普拉斯变换乘以指数e（0）的一种特殊情况。

一.拉普拉斯变换

        在由周期信号的傅立叶级数向非周期函数的傅立叶变换的演变中，是通过周期信号的基波周期趋于无穷大，从而使得连续时间傅立叶级数展开中的离散角频率kw变为连续时间傅立叶变换中的连续角频率。由此形成了傅立叶变换的俩种定义（即傅立叶正变换与傅立叶复变换对频率和角频率两种定义）：

                F〈f（t）〉＝F（w）＝∫f（t）e（-j2兀ft）dt

                F（-1）〈F（w）〉＝f（t）＝1／2兀∫F（w）e（jwt）dw

傅立叶变换将时域信号表征为具有e（jwt）的复谐波函数的线性组合。由此推论，若用e（d+jw）形式的复指数函数代替复谐波函数应该可以使傅立叶变换更一般化。如果直接用复指数函数替代复谐波函数，就可以得到一般化的傅立叶正变换。即

                                    L<f（t）>相似于F（s） =  

这就是拉普拉斯正变换的定义。符号L（.）表示对“.”的拉普拉斯变换。其中s可以在整个复平面内的任意值。即

                                    s = d + jw

所以拉普拉斯变换可以理解为函数f（t）与一个实指数收敛因子e（-dt）相乘后的傅立叶变换。即对函数fd(t) = f(t)e(-dt)求其傅立叶变换。

这其中出现一个问题，函数fd（t）是否收敛。即它是否可以使用傅立叶变换（是否满足狄利克雷条件）

F<fd（t）>  = F<f(t)e(-dt)> = Fd(w) = =

显然，这个积分是否收敛取决于f（t）与d的值。

如果积分收敛，则该式就是f（t）的拉普拉斯变换。