基于PID的麦克纳姆轮-倒立摆系统

1原理分析

1.1倒立摆平衡原理

假设摆杆往前倾斜时，我们控制电机使摆杆作加速运动，加速度大小为 a。 受力分析如图 1所示，摆杆上会受到一个方向与加速度相反，大小与加速度成 比例的惯性力。比例系统为质量 m，即 F = -ma把这个水平向左的惯性力分解， 可以得到垂直于杆的力-ma cosq 。

图 1倒立摆物理模型

可知摆杆受到的回复力为 F = mg sin q - ma cosq ，若θ很小，那么可以认为 sinq = q，cosq =1，且假设摆杆的反馈系统中加速度 a 于摆杆的倾角成比例关系， 比例系数为 k1，代入 a = k1q那么有 F =mgq - mk1 q 。当 k1>g 时，回复力 F 的方向就与倾斜方向相反了，此时摆杆会回复到平衡的位置。 若倒立摆以上述分析加入加速度 a，那么摆杆到达平衡角度后，因为惯性的原因，摆杆并不会立刻停下来，它会越过中立点，这将导致摆杆一直在中立点来回震荡。这时候我们需要引入一个阻尼力，阻尼力总是阻碍运动的，加上阻尼力 后摆杆的回复力变为： F = mgq - mk1 q - mk2 q’ = mgq - m(k1q + k2q’ ) 由此可得到加速度控制算法a = k1q + k2q’ 。只要保证 k1>g，k2>0，就可以令摆杆保持在平衡位置

其中直流减速电机的转速与电压（PWM）满足以下的曲线:

图 2不同电压下电机转速

因此可以控制电机的PWM控制小车受到的加速度。

1.2麦克纳姆轮运动学分析