1.4 线性模型
线性模型（linear model）：模型都是把输入的特征 x 乘上一 个权重，再加上一个偏置就得到预测的结果。
上一个task1中，w跟b的值刚才已经找出来的，这组w跟b可以让损失小到 480，这是我们得到的结论，后续我们将需需用到这个。
在已经知道答案的数据上去计算损失，2017 到 2020 年每天的观看次数是已知的。所以假装不知道隔天的观看次数，拿这一个函数来进行预测，发现误差是 480。接下来使用这个函数预测未来的观看次数。
我们的预测：
用2020年的12月31日的观看人次预测 2021年1月1日的观看人次，用2021年1月1 日的观看人次预测1月2日的观看人次，用1月2日的观看人次去预测1月3日的观看人次，一直到做到2月14日。
得到平均的值，在 2021 年没有看过的数据上，误差值用 L′来表示。它是0.58，所以在有看过的数据上，在训练数据上，误差值是比较小的，在没有看过的数据上，在2021 年的数据上，看起来误差值是比较大的，每一天的平均误差有580人左右，600人左右。
横轴是代表的是时间，所以0这个点代表的是2021年1月1日，最右边点代表的是 2021年2月14日，纵轴就是观看的人次，这边是用千人当作单位。红色线是真实的观看人次，蓝色线是机器用这一个函数预测出来的观看人次。
前一天观看人次乘以0.97，加上100加上100，就是隔天的观看人次。机器几乎就是拿前一天的观看人次来预测隔天的观看人次。这个真实的数据有一个很神奇的现象，它是有周期性的，它每隔7天就会有两天特别低（周五和周六），两天观看的人特别少，每隔7天，就是一个循环。
目前的模型不太行，它只能够看前一天。每隔7天它一个循环，如果一个模型参考前7天的数据，把7天前的数据，直接复制到拿来当作预测的结果，也许预测的会更准也说不定，所以我们就要修改一下模型。通常一个模型的修改，往往来自于对这个问题的理解，即领域知识。
但说实话，挺复杂的我感觉，所以遇事不决我们胡乱写一个试试先：
接下来我们观察了真实的数据以后，得到一个结论是，每隔7天有一个 循环。所以要把前7天的观看人次都列入考虑，写了一个新的模型：
xj : 第j天的观看测试，也就是7天前的数据。
wj: 不同的权重wj。
使用该模型预测，其在训练数据上的损失是380，而只考虑1天的模型在训练数据上的损失是480。因为其考虑了7天，所以在训练数据上会得到比较低的损失。考虑了比较多的信息，在训练数据上应该要得到更好的、更低的损失。在没有看到的数据上的损失有比较好是490。只考虑1天的误差是580，考虑7天的误差是490。用梯度下降， 算出w跟b的最优值所示：
PS.
机器的逻辑是前一天跟要预测的隔天的数值的关系很大，所以 w1*是0.79，不过它知道。但是！！！！如果是前两天前四天前五天，它的值会跟未来要预测的，隔天的值是成反比的，所以后面接个都是负数。
（这部分还是不是很明确，暂时记录到这个部分）
1.4.1 分段线性曲线
线性模型的局限性：之前我们可以发现对于线性模型，x1跟y的关系就是一条直线，随着x1越来越高，y就应该越来越大。设定不同的w可以改变这条线的斜率，设定不同的b可以改变这一条蓝色的直线跟y轴的交叉点。
但是无论如何改w跟b，它永远都是一条直线，永远都是x1越大，y就越大，前一天观看的次数越多，隔天的观看次数就越多。不管如何设置w跟b，永远制造不出红色线，永远无法用线性模型制造红色线。一种来自于模型的限制称为模型的偏差，无法模拟真实的情况。
所以我们需要引入一群Hard Sigmoid函数：Hard Sigmoid函数的特性是当输入的值，当x轴的值小于某一个阈值（某个定值）的时候，大于另外一个定值阈值的时候，中间有一个斜坡。所以它是先水平的，再斜坡，再水平的。所以红色的线可以看作是一个常数项加一大堆的蓝色函数。
常数项设成红色的线跟x轴的交点一样大。常数项怎么加上蓝色函数后，变成红色的这一条线。
蓝线1函数斜坡的起点，设在红色函数的起始的地方，第2个斜坡的终点设在第一个转角处，让第1个蓝色函数的斜坡和红色函数的斜坡的斜率是一样的，这个时候把0+1就可以得到红色曲线左侧的线段。
接下来，再加第2个蓝色的函数，所以第2个蓝色函数的斜坡就在红色函数的第一个转折点到第2个转折点之间，让第2个蓝色函数的斜率跟红色函数的斜率一样，这个时候把0+1+2，就可以得到红色函数左侧和中间的线段。
接下来第3个部分，第2个转折点之后的部分，就加第3个蓝色的函数，第3个蓝色的函数 坡度的起始点设的跟红色函数转折点一样，蓝色函数的斜率设的跟红色函数斜率一样，接下来把0+1+2+3全部加起来，就得到完整红色的线。
（这里教材的解释很复杂，需要细细察看，感觉全都很重要啊 = =）
所以红色线，即分段线性曲线（piecewise linear curve）可以看作是一个常数，再加上一堆蓝色的函数。分段线性曲线可以用常数项加一大堆的蓝色函数组合出来，只是用的蓝色函数不一定一样。
这样还是看着太复杂了，所以我们取个巧，选择选择很多的点，把其连成线（要有足够多的蓝色函数）：
但如果x和y的关系非常复杂，就只能写一个太有未知数的函数。直接写 Hard Sigmoid不是很容易，但是可以用一条曲线来理解它，用 Sigmoid 函数来逼近 Hard Sigmoid，Sigmoid函数的表达式为：
PS. 其横轴输入是x1，输出是 y，c为常数。
如果x1的值，趋近于无穷大的时候，分母变为1，当x1非常大的时候，这一条就会收敛在高度为c的地方。如果 x1 负的非常大的时候，分母的地方就会非常大，y 的值就会趋近于0。
红色这条线就是0加1+2+3，而 1、2、3 都是蓝色的函数，其都可写成 (b+wx1)，Sigmoid 再乘上ci1，只是1、2、3的w、b、c不同，这样我们也就可以得到公式：
假设：b 跟 w 跟 c，它是未知的，我们什么都不知道，所以就可以设定不同的b跟w跟c，就可以制造不同的蓝色的函数，制造不同的蓝色的函数叠起来以后，就可以制造出不同的红色的曲线，就可以制造出不同的分段线性曲线，逼近各式各样不同的连续函数。
同时，我们可以不只用一个特征 x1 ，可以用多个特征代入不同的c,b,w，组合出各种不同的函数，从而得到更有灵活性（flexibility）的函数
接下来就要用到矩阵的知识了（但我已经忘得快差不多了啊= =），先考虑一下 j 就是 1、2、3 的情况，考虑 3 个特征。
例如：只考虑前一天、前两天跟前3天的情况，所以 j 等于1,2,3，所以输入就是 x1 代表前一天的观看的次数，x2 两天前观看次数，x3 3 天前的观看次数，每一个 i 就代表了一个蓝色的函数。每个蓝色函数都用Sigmoid 函数来比近似它。
wij 代表在第 i 个 Sigmoid 里面，乘给第 j 个特征的权重，w 的第一个下标代表是现在在考虑的是第一个 Sigmoid 函数。为了简化起见，括号里面的式子为：
矩阵写法：
r 对应的是 r1 , r2 , r3，然后分别通过 Sig- moid 函数得到 a1 , a2 , a3。
因此蓝色虚线框里面做的事情，是从 x1 , x2 , x3 得到了 a1 , a2 , a3
如果我们用线性表示的话就是：
接下来，如图所示，x 是特征，绿色的 b 是一个向量，灰色的 b 是一个数值。W , b, cT , b 是未知参数。把这些东西通通拉直，“拼”成一个很长的向量，我们把 W 的每一行或者是每一列拿出来。无论是拿行或拿列都可以， 把 W 的每一列或每一行“拼”成一个长的向量，把 b, cT , b ”拼”上来，这个长的向量直接用 θ 来表示。所有的未知的参数，一律统称 θ。
接下来这一步，定义损失：
之前是 L(w, b)，因为 w 跟 b 是未知的。现在未知的参数很多了，之前的办法已进行不太通。用 θ 来统设所有的参数，所以损失函数就变成 L(θ)。 损失函数能够判断 θ 的好坏，其计算方法跟刚才只有两个参数的时候是一样的。
先给定 θ 的值，即某一组 W , b, cT , b 的值，再把一种特征 x 代进去，得到估测出来的 y， 再计算一下跟真实的标签之间的误差 e。把所有的误差通通加起来，就得到损失，之后我们再优化。
要找到 θ 让损失越小越好，可以让损失最小的一组 θ 称为 θ *。选一个初始的数值 θ0。接下来计算每一个未知的参数对 L 的微分，得到向量 g，即可以让损失变低的函数。
又到我们的假设环节啦= =，这里教材说得十分详细，假设有 1000 个参数，这个向量的长度就是 1000，这个向量也称为梯度，▽L 代表梯度。 L(θ0) 是指计算梯度的位置，是在 θ 等于θ0的地方。计算出 g 后，接下来跟新参数，以此类推，就可以把 1000 个参数都更新了：
假设参数有 1000 个，θ0 就是 1000 个数值，1000 维的向量，g 是 1000 维的向量，θ 1也是 1000 维的向量。 整个操作就是这样，由 θ0 算梯度，根据梯度去把 θ0 更新成 θ1 ，再算一 次梯度，再根据梯度把 θ1 再更新成 θ2 ，再算一次梯度把θ2 更新成θ3，以此类推，直到不想做。或者计算出梯度为 0 向量。
到这里其实还有问题，但大致差不多了，我已经感觉比较难理解了，这还只是是入门啊啊啊啊= =
1.4.2 模型变形
其实还可以对模型做更多的变形，不一定要把 Hard Sigmoid 换成 Soft Sigmoid。Hard Sigmoid 可以看作是两个修正线性单元（Rectified Linear Unit，ReLU）的加总，ReLU 的图像有一个水平的线，走到某个地方有一个转折的点，变成一个斜坡，其对应的公式为：
max(0, b+wx1) 是指看0跟b+wx1谁比较大，比较大的会被当做输出；如果 b+wx1<0，输出是0；如果b+wx1>0，输出是 b+wx1。通过 w, b, c 可以挪动其位置和斜率。把两个ReLU 叠起来就可以变成Hard的Sigmoid，想要用 ReLU，就把Sigmoid地方，换成 max(0, bi + wij xj )。在机器学习里面，Sigmoid或ReLU称为激活函数（activation function）。
接下来可以继续改模型，从x变成a，就是把x乘上w加 b，再通过Sigmoid函数。不一定要通过Sigmoid函数，通过 ReLU 也可以得到 a，同样的事情再反复地多做几次。
所以可以把 x 做这一连串的运算产生 a，接下来把a 做这一连串的运算产生a′。 反复地多做的次数又是另外一个超参数。注意，w, b和w′,b′不是同一个参数，是增加了更多的未知的参数。
（说实话到这里就已经很头疼了，全是文字密密麻麻，打脑阔啊= =）
每次都加 100 个ReLU，输入特征，就是56天前的数据。如果做两次，损失降低很多，280降到180。如果做3次，损失从180降到140，通过3次ReLU，从280降到140，在训练数据上，在没看过的数据上，从430降到了380。
通过 3 次 ReLU 的实验结果：
另外一个方面，我们不可能只做短短的几次训练或者说是学习，至少要做上百次。
PS. 这里有Sigmoid或ReLU称为神经元，很多神经元称为神经网络（neural network）。每一排称为一层，称为隐藏层（hidden layer），很多的隐藏层就“深”，这套技术称为深度学习。
刚才只做到 3 层，应该要做得更深，现在网络都是叠几百层的，深度学习就要做更深。但 4 层在训练数据上，损失是 100，在没有看过 2021 年的数据上，损失是 440。在训练数据上3 层比 4 层差，但是在没看过的数据上，4 层比较差，3 层比较好。在训练数 据和测试数据上的结果是不一致的，这种情况称为过拟合（overfitting）。
TASK2 END
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