贪心算法复习总结

1 贪婪选择性质和最优子结构性质

贪婪选择性质

贪婪选择性质：在所有可选的活动中，选择结束时间最早的活动是最优的。

证明：假设S是所有可选活动的集合，A是最优解的子集，即在时间上不冲突的最大集合。a1是A中结束最早的活动，a*是S中结束最早的活动。如果a1就是a*，那么我们已经做出了一个贪婪选择。如果a1不是a*，那么我们可以用a*替换A中的a1（因为a*结束时间更早或相同，不会与A中其他活动冲突），这样我们得到了另一个最优解的子集，它也包含了同样多的活动。这证明了我们的贪婪选择不会导致次优解。

最优子结构性质

最优子结构性质：一个问题的最优解包含其子问题的最优解。

证明：假设我们已经按照结束时间对活动进行了排序，并选择了第一个活动a*作为我们的贪婪选择。现在，我们考虑剩下的活动集合S'，即所有与a*不冲突的活动。按照贪婪算法，我们从S'中选择结束最早的活动，重复这一过程。因为在每一步我们都选择了结束最早的活动，剩下的活动集合是一个新的问题实例，具有更少的选择。根据定义，这个剩余问题的最优解和全局最优解是