第四章学习报告
4.1期望
定义
用于描述随机事件的平均程度
公式
-
离散型
E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ x k p k E(X) = \sum^{\infty}_{k=1}x_kp_k E(X)=k=1∑∞xkpk -
连续性
E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx E(X)=∫−∞∞xf(x)dx
线性性质
- C为常数
E
(
C
)
=
C
E(C)=C
E(C)=C
2. X是一个随机变量，C为常数
E
(
C
X
)
=
C
E
(
X
)
E(CX)=CE(X)
E(CX)=CE(X)
3. X，Y是两个随机变量
E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(X+Y)=E(X)+E(Y)
- 若
XY相互独立，则有
E ( X ) E ( Y ) = E ( X Y ) E(X)E(Y)=E(XY) E(X)E(Y)=E(XY)
4.2方差
定义
设 X 是随机变量，若 E{[X - E(X)] ^ 2} 存在，则称它为X的方差，记为 D(X) 或 Var(X)。
D
(
X
)
=
V
a
r
(
X
)
=
E
{
[
X
−
E
(
X
)
]
2
}
D(X) = Var(X) = E\lbrace[X-E(X)]^2\rbrace
D(X)=Var(X)=E{[X−E(X)]2}
公式
-
离散型
D ( X ) = ∑ k = 1 ∞ [ x k − E ( X ) ] 2 p k D(X)=\sum^{\infty}_{k=1}[x_k-E(X)]^2p_k D(X)=k=1∑∞[xk−E(X)]2pk -
连续型
D ( X ) = ∫ − ∞ ∞ [ x − E ( X ) ] 2 f ( x ) d x D(X)=\int_{-\infty}^{\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx D(X)=∫−∞∞[x−E(X)]2f(x)dx -
通式
D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 D(X)=E(X2)−[E(X)]2
标准化变量
正态分布中有
E
(
X
)
=
μ
,
D
(
X
)
=
σ
E(X)=μ,D(X)=σ
E(X)=μ,D(X)=σ
取 X ∗ = X − μ σ 则 有 E ( X ∗ ) = 0 , D ( X ∗ ) = 1 取 X* = \frac{X-μ}{σ}\\ 则有 E(X*)=0,D(X*)=1 取X∗=σX−μ则有E(X∗)=0,D(X∗)=1
X* 就是 X 的标准化变量
性质
-
C是常数
D ( C ) = 0 D(C)=0 D(C)=0 -
X是随机变量，C是常数
D ( C X ) = C 2 D ( X ) D(CX)=C^2D(X) D(CX)=C2D(X) -
X，Y是两个随机变量
D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) + 2 E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\lbrace[X-E(X)][Y-E(Y)]\rbrace D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}
若 X，Y相互独立
D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) D(X+Y)=D(X)+D(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y) -
D(X) = 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 E(X)
P { X + E ( X ) } = 1 P\lbrace X+E(X) \rbrace = 1 P{X+E(X)}=1
切比雪夫不等式
随机变量 X 具有 E(X) = μ，D(X) = σ^2， 则对于任意正数，不等式
P
{
∣
X
−
μ
∣
≥
ε
}
≤
σ
2
ε
2
P\lbrace |X-μ| \geq \varepsilon \rbrace \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}
P{∣X−μ∣≥ε}≤ε2σ2
成立。
4.3协方差及相关系数
定义
两个随机变量 X 和 Y 是相互独立的则有
E
{
[
X
−
E
(
X
)
]
[
Y
−
E
(
Y
)
]
}
=
0
E\lbrace [X - E(X)][Y-E(Y)] \rbrace = 0
E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0
若该式不等于零，X 与 Y 则不相互独立，且有一定关系
公式
- 协方差
C o v ( X , Y ) = E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) Cov(X,Y) = E \lbrace [X-E(X)][Y-E(Y)]\rbrace \\= E(XY)-E(X)E(Y) Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=E(XY)−E(X)E(Y)
- 相关系数
ρ X Y = C o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) ρ_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}} ρXY=D(X)D(Y)Cov(X,Y)
性质
协方差性质
-
ab为常数
C o v ( a X , b Y ) = a b C o v ( X , Y ) Cov(aX,bY) = abCov(X,Y) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) -
C o v ( X 1 + X 2 , Y ) = C o v ( X 1 , Y ) + C o v ( X 2 , Y ) Cov(X_1+X_2,Y) = Cov(X_1,Y) + Cov(X_2,Y) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)
系数性质
-
∣ ρ X Y ∣ ≤ 1 |ρ_{XY}| \leq 1 ∣ρXY∣≤1
-
当存在常数 a,b使
P { Y = a + b X } = 1 时 有 ∣ ρ X Y ∣ = 1 P \lbrace Y = a + bX \rbrace = 1时有 |ρ_{XY}| = 1 P{Y=a+bX}=1时有∣ρXY∣=1
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