线性代数学习笔记-part3 矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵初等变换

定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

• 对换两行（对换 i， j两行， 记作$r_i\leftrightarrow r_j$） ；
• 以数$k\ne 0$乘某一行中的所有元（第 i行乘 k， 记作$r_i\times k$） ；
• 把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上， 记作$r_i+k{r}_j$）.

把定义中的“行” 换成“列” ， 即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r” 换成“c” ） .

矩阵的初等行变换与初等列变换， 统称初等变换.

如果矩阵$A$经有限次初等行变换变成矩阵$B$， 就称矩阵$A$与$B$行等价， 记作$A\stackrel{r}{\sim }B$； 如果矩阵$A$经有限次初等列变换变成矩阵$B$， 就称矩阵$A$与$B$列等价， 记作$A\stackrel{c}{\sim }B$；如果矩阵$A$经有限次初等变换变成矩阵$B$，就称矩阵$A$与$B$等价， 记作$A\sim B$.

矩阵之间的等价关系具有下列性质：

• 反身性 $A\sim A$
• 对称性 若$A\sim B$， 则$B\sim A$
• 传递性 若$A\sim B$，$B\sim C$，则$A\sim C$.

定义 2 （1） 非零矩阵若满足（i）非零行在零行的上面；（ii）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话） 的首非零元所在列的右面， 则称此矩阵为行阶梯形矩阵；

（2） 进一步，若 A 是行阶梯形矩阵，并且还满足：（i） 非零行的首非零元为1； （ii） 首非零元所在的列的其他元均为 0， 则称 A 为行最简形矩阵.

对于任何非零矩阵 A m×n， 总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.

利用初等行变换， 把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵， 是一种很重要的运算.由引例可知， 要解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵.

对于 m×n 矩阵 A， 总可经过初等变换（行变换和列变换） 把它化为标准形
$$F=\left[\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$
此标准形由 m， n， r 三个数完全确定， 其中 r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.

定理 1 设$A$与$B$为$m\times n$矩阵， 那么

（i）$A\stackrel{r}{\sim }B$的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵$P$， 使$PA=B$；

（ii）$A\stackrel{c}{\sim }B$的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵$Q$， 使$AQ=B$；

（iii）$A\sim B$的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵$P$及n阶可逆矩阵$Q$， 使$PAQ=B$.

定义 3 由单位矩阵$I$经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

三种初等变换对应有三种初等矩阵.

(i) 把单位矩阵中第i，j两行对换（或第i，j两列对换），得初等矩阵$I(i,j)$

(ii) 以数$k\ne 0$乘单位矩阵的第i行（或第i列），得初等矩阵$I(i(k))$

(iii) 以 乘单位矩阵的第j行加到第i行上或以k乘单位矩阵的第i列加到第j列上， 得初等矩阵$I(ij(k))$

性质 1 设 A 是一个 m×n 矩阵， 对 A 施行一次初等行变换， 相当于在 A 的左边乘相应的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换， 相当于在 A 的右边乘相应的 n 阶初等矩阵.

性质 2 方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵$P_1,P_2,\cdots P_l$， 使$A=P_1{P}_2{P}_l$.

推论 方阵 A 可逆的充分必要条件是

矩阵的秩

定义 4 在 m×n 矩阵 A 中， 任取 k 行与 k 列（k ≤ m， k ≤ n） ， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素， 不改变它们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式

m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有$C_m^k\cdot C_n^k$

引理 设$A\stackrel{r}{\sim }B$，则 A 与 B 中非零子式的最高阶数相等

定义 5 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D， 且所有 r+1 阶子式（如果存在的话） 全等于 0， 那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式， 数 r称为矩阵A 的秩， 记作 R（A） . 并规定零矩阵的秩等于 0.

可逆矩阵又称满秩矩.阵， 不可逆矩阵（奇异矩阵） 又称降秩矩阵.

定理 2 若 A ～ B， 则 R（A） = R（B） .

推论 若可逆矩阵 P、 Q 使 PA Q = B， 则 R（A） = R（B） .

下面讨论矩阵的秩的性质. 前面我们已经提出了矩阵秩的一些最基本的性质， 归纳起来有

① $0\le R(A_{m\times n})\le \min (m,n)$.

② $R(A_{\text{T}})=R(A)$.

③ 若 A ～B， 则 R（A） = R（B） .

④ 若 P、 Q 可逆， 则 R（PA Q） = R（A） .

⑤ max｛R（A）， R（B）｝ ≤ R（A， B） ≤ R（A） +R（B），

⑥ R（A +B） ≤ R（A） +R（B） .

⑦ R（A B） ≤ min｛R（A）， R（B）｝

⑧ 若 A m×n Bn×l = O， 则 R（A） +R（B） ≤ n

设 A B = O， 若 A 为列满秩矩阵， 则 B = O

线性方程组的解

定理 3 n 元线性方程组 Ax =b （i） 无解的充分必要条件是 R（A） ＜R（A， b）； （ii） 有惟一解的充分必要条件是 R（A） = R（A， b） = n； （iii） 有无限多解的充分必要条件是 R（A） = R（A， b） ＜n.

定理 4 n 元齐次线性方程组 Ax =0有非零解的充分必要条件是 R（A） ＜n.

定理 5 线性方程组 A x = b 有解的充分必要条件是 R（A） = R（A， b） .

定理 6 矩阵方程 A X = B 有解的充分必要条件是 R（A） = R（A， B） .

定理 7 设 A B = C， 则 R（C） ≤ min｛R（A） ， R（B） ｝ .