动态规划-整数拆分（集合角度推导）

题目

整数拆分
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

1. 集合定义

对于一个整数 ( n )，将其拆分的所有方式记为集合 ( S(n) )：
$$S(n)=\{(a_1,a_2,\dots ,a_k)\mid a_1+a_2+\cdots +a_k=n,a_i>0,k\ge 2\}$$

每种拆分方式对应一个乘积：
$$P(a_1,a_2,\dots ,a_k)=a_1\times a_2\times \cdots \times a_k$$

我们需要在这些拆分方式中找到乘积最大的那种，记为 $dp[n]$：
$$dp[n]=\underset{(a_1,a_2,\dots ,a_k)\in S(n)}{\max }P(a_1,a_2,\dots ,a_k)$$

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2. 集合拆解

考虑将整数 $n$ 拆分为两部分$j$和$n-j$，其中 $j$是拆分点：
$$n=j+(n-j)$$

此时可以将$S(n)$拆解为两类子集合：

1. 直接拆分：只将$n$ 拆分为两部分 $j$ 和 $n-j$，对应的乘积为：
   $$P(j,n-j)=j\times (n-j)$$

2. 递归拆分：进一步对 $n-j$继续拆分，对应的乘积为：
   $$P(j,S(n-j))=j\times dp[n-j]$$

因此，集合 $S(n)$的最大值可以通过以下公式表示：
d p [ n ] = max ⁡ 1 ≤ j < n { j × ( n − j ) , j × d p [ n − j ] } dp[n] = \max_{1 \leq j < n} \{j \times (n-j), j \times dp[n-j]\} dp[n]=1≤j<nmax​{j×(n−j),j×dp[n−j]}

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3. 动态规划状态转移公式

通过上述分析，可以总结出状态转移公式：
d p [ n ] = max ⁡ 1 ≤ j < n { max ⁡ ( j × ( n − j ) , j × d p [ n − j ] ) } dp[n] = \max_{1 \leq j < n} \{\max(j \times (n-j), j \times dp[n-j])\} dp[n]=1≤j<nmax​{max(j×(n−j),j×dp[n−j])}

其中：

• $j\times (n-j)$ 表示不递归拆分，直接将 $n$ 拆为 $j$和 $n-j$。
• $j\times dp[n-j]$ 表示递归使用之前的最优解。

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4. 初始化条件

动态规划需要初始值：

• $dp[1]=1$（虽然通常不拆分，但作为递归的基准）。
• $dp[2]=1$（2 拆分为 1 和 1，乘积为 1）。

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5. 集合视角的递推步骤

从小到大递推：

1. 对于每个$n$，枚举所有可能的拆分点$j$。
2. 计算拆分后的两个子问题：
   • 不再拆分的乘积：$j\times (n-j)$。
   • 继续递归的乘积：$j\times dp[n-j]$。
3. 在所有拆分中找到最大值，赋值给 $dp[n]$。

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示例推导 $n = 5 )

集合拆分视角分析：

• $S(5)$：所有可能的拆分：
  $$S(5)=\{(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1)\}$$
• 最大乘积来自以下两种情况：
  1. 直接拆分为两部分，枚举 $j=1,2,3,4$。
  2. 递归拆分，利用 $dp[n-j]$。

动态规划计算：

1. 初始化：$dp[1]=1$，$dp[2]=1$。
2. 递推：
   • $dp[3]=\max (1\times 2,1\times dp[2])=2$
   • $dp[4]=\max (1\times 3,1\times dp[3],2\times 2)=4$
   • $dp[5]=\max (1\times 4,1\times dp[4],2\times 3,2\times dp[3])=6$

最终答案：$dp[5]=6$。

1. 优化状态转移

当前的状态转移公式的时间复杂度为 $O(n^2)$，因为每次计算 $dp[n]$ 都需要枚举所有可能的拆分点 $j$。可以考虑利用数学性质来减少不必要的计算。

优化思路：

• 减小计算量：拆分$n$ 为$j$和 $n-j$ 时，最大乘积通常出现在$j$和 $n-j$较为均匀的情况。因此，可以优先考虑接近 $\frac{n}{2}$ 的拆分点。

• 剪枝：在实际实现中，可以通过观察某些 ( j ) 的拆分结果始终小于其他拆分的结果，从而剪去这些不必要的拆分点，加速计算。

2. 递归与迭代

动态规划可以通过递归或迭代来实现。递归形式易于理解，但迭代实现通常更高效，避免了函数调用的开销。

迭代实现的伪代码如下：

def integerBreak(n):
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = 1
    dp[2] = 1
    for i in range(3, n + 1):
        for j in range(1, i):
            dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
    return dp[n]

补充

公式 $j\times (n-j)$ 的由来，源于将整数 $n$ 拆分成两部分时的直接乘积计算。它的推导过程如下：

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1. 拆分的基本思想

整数拆分问题的核心是将一个整数 $n$ 分成若干个整数的和：
$$n=a_1+a_2+\cdots +a_k$$
为了最大化这些整数的乘积 $P(a_1,a_2,\dots ,a_k)$，我们需要枚举可能的拆分方式。

一种最简单的拆分方式是只把 $n$ 拆成两个整数 $j$ 和 $n-j$，其中 $j$ 是一个拆分点。此时，乘积为：
$$j\times (n-j)$$

这直接反映了拆分点 $j$ 的贡献和剩余部分 $n-j$ 的乘积。

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2. 从数学推导来看

对于一个整数 $n$，如果只考虑拆分为两部分 $j$ 和 $n-j$，它的乘积公式自然就是：
$$P=j\times (n-j)$$
这里：

• $j$ 是第一个拆分出的部分。
• $n-j$ 是剩下的部分。

这个公式来源于简单的代数计算：如果将 $n$ 拆分为两部分，二者的乘积就是这些部分相乘。

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3. 从动态规划的角度来看

动态规划的问题需要从小到大逐步计算。对于 $dp[n]$，我们尝试枚举拆分点 $j$，将 $n$ 分为两部分：

1. 一部分是 $j$，它不会再拆分。
2. 另一部分是 $n-j$，它可以继续拆分。

直接拆分的乘积公式就是：
$$j\times (n-j)$$
如果只考虑这一步拆分，这是计算的直接结果。

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4. 为何需要直接乘积 $j\times (n-j)$

在动态规划中，最大乘积有两种情况：

1. 直接拆分的结果：
   • 拆分为 $j$ 和 $n-j$，只计算这两部分的乘积：
     $$P=j\times (n-j)$$
   • 这是不进一步递归时的结果。
2. 递归子问题的结果：
   • 如果 $n-j$ 可以进一步拆分，我们取其最大乘积 $dp[n-j]$，然后乘以 $j$：
     $$P=j\times dp[n-j]$$
     两者都需要考虑，取其最大值。

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5. 为什么需要枚举 $j$

在计算最大乘积时，拆分点 $j$ 的选择对结果影响很大。例如：

• 当 $j$ 较小时，剩余部分 $n-j$ 较大，可能需要进一步拆分。
• 当 $j$ 较大时，剩余部分较小，可能直接求最大乘积。

通过枚举 $j$，我们可以覆盖所有可能的拆分情况，确保找到最大值。

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6. 直观理解 $j\times (n-j)$ 的作用

• $j\times (n-j)$ 是拆分后的直接乘积，体现了最简单的拆分方式。
• 这是一种边界条件（base case），即当剩余部分 $n-j$ 不再进一步拆分时的结果。
• 它提供了动态规划的基础值，与 $j\times dp[n-j]$ 共同构成状态转移的核心逻辑。

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总结

公式 $j\times (n-j)$ 的灵感来自于拆分的基本操作，即将整数 $n$ 分为两部分的直接乘积：

1. 是最简单的整数拆分形式。
2. 作为动态规划的一种情况，帮助递归计算中找到最大乘积。
3. 构成状态转移公式的一部分，与递归解法（$j\times dp[n-j]$）相辅相成，确保覆盖所有可能的拆分情况。