学习记录：js算法（一百零六）：最长回文子串

最长回文子串

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串

示例 1：
输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。

示例 2：
输入：s = "cbbd"
输出："bb"

思路一

var longestPalindrome = function(s) {
    const n = s.length;
    if (n < 2) return s; // 字符串长度小于2，直接返回原字符串

    let start = 0, maxLength = 1; // 初始化最长回文子串的起始位置和最大长度
    const dp = new Array(n); // 初始化dp数组，dp[i]表示以i为中心的最长回文子串的真正半径

    // 遍历每一个字符作为回文中心
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        // 奇数长度回文子串，以i为中心
        dp[i] = expandAroundCenter(s, i, i);
        // 偶数长度回文子串，以i和i+1为中心
        if (i + 1 < n) {
            const len2 = expandAroundCenter(s, i, i + 1);
            dp[i + 1] = len2; // 注意这里更新dp[i+1]，因为偶数长度的回文串的"中心"可以认为是i+1
        }

        // 更新最长回文子串的信息
        if (dp[i] > maxLength) {
            maxLength = dp[i];
            start = i - Math.floor((dp[i] - 1) / 2);
        }
        if (i + 1 < n && dp[i + 1] > maxLength) {
            maxLength = dp[i + 1];
            start = i + 1 - Math.floor(dp[i + 1] / 2);
        }
    }

    // 根据起始位置和最大长度截取最长回文子串
    return s.substring(start, start + maxLength);
};

// 辅助函数，围绕中心扩展寻找回文串
function expandAroundCenter(s, left, right) {
    while (left >= 0 && right < s.length && s[left] === s[right]) {
        left--;
        right++;
    }
    return right - left - 1; // 返回回文串的长度
}

讲解
动态规划在这里的关键是将问题分解为较小的子问题，并利用已解决的子问题结果来构建更大的解。对于寻找最长回文子串的问题，我们可以遵循以下步骤：

1. 初始化:
   ○ 首先，初始化一个一维或二维的动态规划数组。对于一维DP方法，数组的长度与原字符串相同，每个元素表示以其索引为中心的最长回文子串的半径。
   ○ 初始化最长回文子串的起始位置和最大长度，通常起始位置设为0，长度设为1（单个字符本身就是最短的回文子串）。
2. 状态定义:
   ○ 设dp[i]表示以索引i为中心的最长回文子串的半径（对于奇数长度的回文）或实际长度减1（对于偶数长度的回文，想象一个虚拟中心位于两个字符之间）。
3. 状态转移方程:
   ○ 对于每个中心，尝试向两边扩展，直到遇到不匹配的字符为止。利用已计算的子串信息来避免重复计算。
   ○ 对于奇数长度的回文，中心是单一字符，检查s[i-(dp[i]-1)]和s[i+(dp[i]-1)]是否相等。
   ○ 对于偶数长度的回文，中心位于两个字符间，检查s[i-(dp[i]+1)/2]和s[i+(dp[i]+1)/2]是否相等。
4. 遍历和更新:
   ○ 遍历字符串中的每个字符，对每个字符应用上述状态转移方程，更新最长回文子串的信息（起始位置和最大长度）。
5. 结果提取:
   ○ 根据最终的最长回文子串的起始位置和最大长度，从原字符串中截取这个子串并返回。

通过这种分而治之的策略，我们能够在每个字符上计算出以它为中心的最长回文子串信息，进而找到整个字符串中的最长回文子串。这种方法相比暴力解法大大提高了效率，尤其是通过空间优化使用一维数组时，既保持了问题解决的高效性，又降低了空间复杂度。