前缀异或和

内容：

        从0往后异或，我们发现，每四个都有规律

        相当于对于数i，根据i%4可以直接推出0到i的前缀和

例题：XORificator 3000

大意：

        求[L, R]区间不与k同余的数的异或和

思路：

       直接求比较难求，可以转化一下，不与k同余的数的异或和等于与k同余的数的异或和再异或一下[L,R]区间内所有数的异或和

        可以容易求得[L,R]区间内异或和 = f[R] ^ f[L - 1]

        与k同余的数，他们低i位都是k，高位依次加一，可以分别考虑：对于高位，直接求出高位区间然后异或求异或和即可，对于低位，如果同余数为偶数就为0，如果为奇数，就为k

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#include <array> 
using namespace std;
#define int long long
const int N = 2e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
#define pb push_back
#define  vi vector<int>
#define  vvi vector<vector<int>>
#define  vii vector<pair<int, int>>
#define ff first 
#define ss second 
// ++   ~!    */+-    <<>>    <>  ==   &^|   &&|| =

int f(int x) // 前缀异或和
{
    int num = x % 4;
    if (num == 0)return x;
    else if (num == 1)return 1;
    else if (num == 2)return x + 1;
    else return 0;
}
void solve() 
{
    int l, r, i, k;
    cin >> l >> r >> i >> k;
    int m = 1ll << i;
    
    int num1 = f(r) ^ f(l - 1); //l，r 区间异或和
    
    int a = l >> i, b = r >> i;
    if (l % m > k)a ++; // a 代表与k同模的最小值的高位
    if (r % m < k)b --; // b 代表与k同模的最大值的高位

    int num2 = f(b) ^ f(a - 1); // l，r区间内与k同余数的高位异或和
    num2 <<= i;
    if ((b - a + 1) & 1)num2 += k;
    
    int ans = num1 ^ num2;
    cout << ans << endl;
}


signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);

    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) solve();

    return 0;
}
/*   /\_/\
*   (= ._.)
*   / >  \>
*/

参考题解

Codeforces Round 984 (Div. 3) F.XORificator 3000 题解 - Hello World