区间DP：基因拼接

最新推荐文章于 2024-07-12 07:30:00 发布

Vieta's_Jumping

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分类专栏：总结文章标签：动态规划 leetcode 算法

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博客围绕基因拼接问题展开，该问题需计算将多个DNA片段拼接成一个片段的最小和最大代价。作者起初误判为贪心问题，后经咨询得知是区间DP问题。介绍了处理环形序列的技巧，给出递推关系式，还提及类似的LeetCode题目。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

5(选做) 基因拼接 (100 分)
基因拼接是将不同的DNA片段连接在一起。现有n个DNA片段，从左到右排成一条直线。每次选取相邻的两个DNA片段，拼接成一条更长DNA片段。规定最后1个DNA片段和第1个DNA片段相邻。重复这个过程，直到所有的DNA片段形成一个DNA片段。每次拼接，花费的代价是所选两个DNA片段的长度之和。现在想知道，上述基因拼接,花费的最小代价和最大代价分别是多少。

输入格式:
第1行，一个整数n，表示DNA片段的个数，1≤n≤200。

第2行，n个整数Li，用空格分隔，Li表示第i个DNA片段的长度，1≤Pi≤100，1≤i≤n。

输出格式:
1行，两个整数，用空格分隔，表示所求的最小代价和最大代价。

输入样例:
在这里给出一组输入。例如：

3
1 3 2
输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：

9 11

说来惭愧，一直以为这个题目是一个贪心就完了。看似显然的东西，实际上根本就没办法证明是贪心。我一开始的思路就是看哪一个最小，就走哪一个合并，哪一个最大就走哪一个，最后算出来最小和最大。分析一下自己的思路往那方面偏差的原因，大概是在于我，第一眼就觉得这个题目是和“合并果子是一类的题目”。自以为掌握了题目精髓？
但是，咨询别的大佬之后，才知道这是一个区间DP问题。
设置一个dp[i][j]表示区间的最小代价或者最大代价，然后有个不错的技巧学到了，把序列1 2 3 4 5变成1 2 3 4 5 1 2 3 4就可以模拟所有环的情况了。避免了很复杂的环的处理。然后，这个代码并不是一次就成功的，因为递推关系式子并没有写好。
正确的递推关系式是这样的：
$s u m$ 表示前缀和，所以现在看来，突然发现我代码写的不太好，下面是第一版的代码了，我要更新一个第二版出来。
$DP[i][j]=max_{i\leq k< j \,\,}\{DP[i][k]+DP[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]\}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[410][410];
int input[1000];
int sum[210];
int n;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    if(n==1){
        scanf("%d",&n);
        printf("0 0");
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&input[i]);
    for(int j=n+1;j<=2*n-1;j++)
        input[j]=input[j-n];
    for(int i=1;i<=2*n-1;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+input[i];
    for(int i=2*n-1;i>=1;i--)
    {
        f[i][i]=input[i];
        for(int j=i+1;j<=i+n-1&&j<=2*n-1;j++)
        {
            if(j==i+1)
            {
                f[i][j] =sum[j]-sum[i-1];
            }
            else
            {
                int Min=INT_MAX;
                for(int k = i; k < j; k++)
                {
                    int temp_Min=sum[j]-sum[i-1];
                    if(i!=k) temp_Min+=f[i][k];
                    if((k+1)!=j) temp_Min+=f[k+1][j];
                    Min = min(Min,temp_Min);
                }
                f[i][j] = Min;
            }
        }
    }
    int Min=INT_MAX;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        Min=min(Min, f[i][i+n-1]);
    }
    printf("%d ",Min);

    for(int i=2*n-1;i>=0;i--)
    {
        f[i][i] = input[i];
        for (int j=i+1;j<=2*n-2;j++)
        {
            if(j==i+1)
            {
                f[i][j] =sum[j]-sum[i-1];
            }
            else
            {
                int Max=INT_MIN;
                for(int k = i; k < j; k++)
                {
                    int temp_Max=sum[j]-sum[i-1];
                    if(i!=k) temp_Max+=f[i][k];
                    if((k+1)!=j) temp_Max+=f[k+1][j];
                    Max = max(Max, temp_Max);
                }
                f[i][j] = Max;
            }
        }
    }
    int Max=INT_MIN;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        Max=max(Max, f[i][i+n-1]);
    }
    printf("%d",Max);
    return 0;
}

第二版的代码出炉：
之前改动的地方只有一个，那就是这个f[i][i]到底是等于多少，实际上就应该是0，这样的话特判都可以去掉了，还是自己题意理解不到位，竟然现在才发现这个问题。果然反思还是有很大作用的(思考.jpg)。
emmm其实这个类型的题目我也做过，LeetCode叫做奇怪的打印机
https://leetcode-cn.com/problems/strange-printer/
可惜还是整合不到一起去。这个是硬伤啊，这类型的题目看来还是有很多可以探索的。所以，还差的远呢。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[410][410];
int input[1000];
int sum[210];
int n;
int main(){
    scanf("%d",&n);

    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&input[i]);
    for(int j=n+1;j<=2*n-1;j++)
        input[j]=input[j-n];
    for(int i=1;i<=2*n-1;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+input[i];

    for(int i=2*n-1;i>=1;i--)
    {
        for(int j=i+1;j<=i+n-1&&j<=2*n-1;j++)
        {
            if(j==i+1)
                f[i][j] =sum[j]-sum[i-1];
            else
            {
                int Min=INT_MAX;
                for(int k = i; k < j; k++)
                {
                    int temp_Min=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
                    Min = min(Min,temp_Min);
                }
                f[i][j] = Min;
            }
        }
    }
    int Min=INT_MAX;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        Min=min(Min, f[i][i+n-1]);
    printf("%d ",Min);
    for(int i=2*n-1;i>=0;i--)
    {
        for (int j=i+1;j<=2*n-2;j++)
        {
            if(j==i+1)
                f[i][j] =sum[j]-sum[i-1];
            else
            {
                int Max=INT_MIN;
                for(int k = i; k < j; k++)
                {
                    int temp_Max=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
                    Max = max(Max, temp_Max);
                }
                f[i][j] = Max;
            }
        }
    }
    int Max=INT_MIN;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        Max=max(Max, f[i][i+n-1]);
    printf("%d",Max);
    return 0;
}