过河卒问题求解

棋盘上 A点有一个过河卒，需要走到目标 B点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 C 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示，AA点 (0,0)、B 点 (n,m)，同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从 AA 点能够到达 BB 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个正整数，分别表示 BB 点坐标和马的坐标。

输出格式

一个整数，表示所有的路径条数。

输入输出样例

输入 

6 6 3 3

输出 

6

说明/提示

对于 100%100% 的数据，1≤n,m≤201≤n,m≤20，0≤0≤ 马的坐标 ≤20≤20。

求解

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define MAXN 21 // 定义棋盘的最大尺寸

int dp[MAXN][MAXN]; // 动态规划数组，dp[i][j]表示到达点(i, j)的路径数
int horse[MAXN][MAXN]; // 标记马的控制点，horse[i][j]为1表示点(i, j)是马的控制点
int n, m, x, y; // n和m是目标点B的坐标，x和y是马的坐标

// 初始化马的控制点
void initHorse() {
    memset(horse, 0, sizeof(horse)); // 初始化horse数组为0
    horse[x][y] = 1; // 马的位置也是控制点
    // 马的八种走法，用数组表示
    int moves[8][2] = {{2, 1}, {1, 2}, {-1, 2}, {-2, 1}, {-2, -1}, {-1, -2}, {1, -2}, {2, -1}};
    for (int i = 0; i < 8; i++) {
        int nx = x + moves[i][0], ny = y + moves[i][1]; // 计算马走一步后的新位置
        // 检查新位置是否在棋盘内，如果在则标记为马的控制点
        if (nx >= 0 && nx < n && ny >= 0 && ny < m) {
            horse[nx][ny] = 1;
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &x, &y); // 读取输入
    memset(dp, 0, sizeof(dp)); // 初始化dp数组为0
    dp[0][0] = 1; // 起点(0, 0)的路径数为1
    initHorse(); // 初始化马的控制点

    // 动态规划计算到达每个点的路径数
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            // 如果当前点不是马的控制点
            if (i > 0 && !horse[i-1][j]) dp[i][j] += dp[i-1][j]; // 从左边来
            if (j > 0 && !horse[i][j-1]) dp[i][j] += dp[i][j-1]; // 从上面来
        }
    }

    printf("%d\n", dp[n][m]); // 输出到达目标点B的路径数
    return 0;
}

详细注释解释

• #define MAXN 21：定义了一个常量MAXN，表示棋盘的最大尺寸，这里假设棋盘的大小不超过20x20。
• int dp[MAXN][MAXN]：声明了一个二维数组dp，用于存储动态规划的结果，dp[i][j]表示到达点(i, j)的路径数。
• int horse[MAXN][MAXN]：声明了一个二维数组horse，用于标记马的控制点。
• int n, m, x, y;：声明了四个整型变量，分别用于存储目标点B的坐标(n, m)和马的坐标(x, y)。
• void initHorse()：定义了一个函数initHorse，用于初始化马的控制点。
• memset(horse, 0, sizeof(horse));：使用memset函数将horse数组初始化为0，表示棋盘上的所有点最初都不是马的控制点。
• horse[x][y] = 1;：将马的位置标记为控制点。
• int moves[8][2]：定义了一个二维数组moves，包含了马的八种走法。
• if (nx >= 0 && nx < n && ny >= 0 && ny < m)：检查马走一步后的新位置是否在棋盘内，如果在，则将其标记为马的控制点。
• memset(dp, 0, sizeof(dp));：将dp数组初始化为0。
• dp[0][0] = 1;：起点(0, 0)的路径数为1。
• initHorse();：调用initHorse函数初始化马的控制点。
• for (int i = 0; i <= n; i++)：外层循环遍历棋盘的每一行。
• for (int j = 0; j <= m; j++)：内层循环遍历棋盘的每一列。
• if (i > 0 && !horse[i-1][j]) dp[i][j] += dp[i-1][j];：如果当前点不是马的控制点，且可以从左边的点到达，则累加路径数。
• if (j > 0 && !horse[i][j-1]) dp[i][j] += dp[i][j-1];：如果当前点不是马的控制点，且可以从上面的点到达，则累加路径数。
• printf("%d\n", dp[n][m]);：输出到达目标点B的路径数。