密码学--数学基础（公式推导及原理证明）

最新推荐文章于 2025-08-22 10:56:30 发布

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#算法

本文介绍了密码学中的数学基础，包括欧几里得算法及其扩展，用于解决最大公约数和模逆运算的问题。还讨论了欧拉公式在数论中的应用，并提到了利用扩展欧几里得算法求解线性同余方程。同时，文中通过力扣刷题展示了这些算法的实际应用，如在LeetCode题目287、1175和1071中的运用。

问题：

$a^x ~ mod ~ b = c$
已知a,b互质（两个数的最大公约数为1），给出a,b,c三个正整数，求x的自小正整数解。

欧几里得算法

概念：

整数a,b的最大公约数一般表示为 gcd(a,b)
终极奥义：gcd(a,b) = gcd(b,a%b)=> 将大规模的问题转变成小规模的问题 ，当转变成gcd(c,0)时，c即为最大公约数

 	1 当a>b，缩小问题规模的作用
 	2  当a<b,相当于a和b的位置进行对调

//欧几里得算法就是将较大规模的问题转变成较小规模的问题
int gcd(int a,int b){
   
   //gcd求最大公约数的
    cout<<"gcd("<<a<<","<<b<<")=";
    if(b) return gcd(b,a%b);
    return a;//此时b=0 直接返回a(最大公约数)
}
int main(){
   
   
    int a,b;
    while(cin>>a>>b){
   
   
        cout<<gcd(a,b)<<endl;
    }
    return 0;
}

证明：

1、b和a%b的最大公约数，是a和b的公约数

设b,a%b的最大公约数c
b = k1*c
a%b = k2*c
a-k*b = k2*c => a = k2*c+k*b => a = k2*c+k*k1*c
a = (k2+k*k1)*c
b = k1*c
及证：得出结论b和a%b的最大公约数也是a和b的公约数

2、b和a%b的最大公约数也是a和b的最大公约数

a = (x+y*k)*c
b = y*c
定理：假设a和b的最大公约数为c 那么x+y*k和y的最大公约数为1
反正法：假设c不是a和b的最大公约数=>gcd(x+y*k，y)=d | d!=1
x+k*y = n*d
y = m*d
x = n*d-k*y = n*d-k*

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