5、密码学中的数学基础与属性加密技术

密码学中的数学基础与属性加密技术

1. 椭圆曲线上点的逆元

在椭圆曲线的研究中，无穷远点可以被描绘为沿着 y 轴指向“正”无穷或“负”无穷的点。对于椭圆曲线上的任意群元素 P，其逆元 -P 可根据群的定义来确定，即满足 P + (-P) = 。

通过切线 - 弦法，我们能找到点 P = (xp, yp) 的逆元 -P = (xp, -yp)，也就是该点沿 x 轴的反射点。在素域 ℤp 上的椭圆曲线中，y 坐标的逆元为 -yp = p - yp mod p，所以 -P ≡ (xp, p - yp)。

2. 除子与双线性映射

2.1 除子的定义

在代数几何里，除子有多种定义。对于曲线 E 上的除子 D，它是一种方便表示 E 上点的多重集的方式，定义为：
[D = \sum_{P\in E(\mathbb{F} q)} n_p(P)]
其中 (n_p \in \mathbb{Z})。Div( {\mathbb{F}_q})(E) 表示 E 上所有除子的集合，它构成一个群，除子的加法是自然定义的。零除子是指所有 (n_P = 0) 的除子。若不指定域 (\mathbb{F}_q)，除子群可简记为 Div(E)。除子 D 规定了 E 上点的重数，它能表示直线与椭圆曲线的关系，也是基于配对算法的基础。

2.2 除子的度数和支撑集

• 度数 ：除子 D 的度数 Deg(D) 定义为 (\sum_{P\in E(\mathbb{F}_q)} n_P)。
• 支撑集