密码学的数学基础1

本文为密码学的数学基础(王小云,王明强著)的读书笔记,将自己认为比较好的定理的证明与习题做了整理,同时对一些常用的算法做了拓展,以及C语言的实现,水平有限,如有错误,欢迎指正。(PS:官方编辑器好多公式不方便编辑,于是便从latex中粘过来图片,使局部地区不太美观,多多包涵)

素数，整除

两个定理

定理1.4：若a为合数，则a的最小真因子为素数。
定理1.5：素数又无穷多个。

证明：

1.4：
反证法,假设a为合数，即$a>2$,设其最小真因子为d，那么假设d为非素数，即为合数，存在$d^{\prime }|d$,因此$d^{\prime }|a$,所以,与d为最小真因子矛盾,得证.
1.5:
反证法,假设素数为有限个,为$p_1,p_2,p_3,...p_k$,考虑$a=p_1{p}_2...p_k+1,$那么根据定理1.4,可以得到a的最小真因子一定为$p_1,p_2,p_3,...p_k$中某一个素数,记作p,则$p为p_i(i=1,2,...k)中某一个,$所以$p|a,p|p_1{p}_2...p_k$同时成立,所以推出p|1,这与p为素数矛盾,得证.

最大公因子,最小公倍数

数学符号定义
求a和b的最大公因子:$d=gcd(a,b)=(a,b)$
求a和b的最小公倍数:$[a,b]$

一道证明题

题目:
设a是奇数,证明:

1. 一定存在正整数$d\le a-1,使得a|2^d-1$
2. 必有正整数d,使$(2^d-3,a)=1$

证明：

考虑以下a个数$$2^0,2^1,2^2,...2^{a-1}$$由$a\nmid 2^j(0\le j<a)$以及带余除法可以得到知道,对于每一个j, $0\le j<a$,存在$q_j,r_j$使得$$2^j=q_{j}a+r_{}$$