ZZNUoj 2094 : 正约数之和【n!的因子和】

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题目描述

我们把f(i)表示为i的正约数的和，而我们要求的是1<=i<=n之间所有i的f（i）之和！

输入

先输入一个正整数T，表示T个这是数据。T（T<=50）
每行输入一个正整数n。(n<10^6)
输出
输出一个数字，表示所求的数。
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2018
样例输出
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3350309
题意：求n!的因子数之和。
思路：累加n中存在的n/i个以i为因子的数的因子i ，1<= i<= n.
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define LL long long 
LL Judge(int n)
{
	LL sum=n;
	int i;
	for(i = 2; i <= n; i ++)
		sum += (n/i)*i;//在n范围内，是i的整数倍的数有n/i个，则1-n中所有以i为因子的数的总和为(n/i)*i 
	return sum;
}

int main()
{
	int n,t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld\n",Judge(n));
	}
	return 0;
}


                

        

    


      

        
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题目描述我们把f(i)表示为i的正约数的和，而我们要求的是1&lt;=i&lt;=n之间所有i的f（i）之和！输入先输入一个正整数T，表示T个这是数据。T（T&lt;=50）每行输入一个正整数n。(n&lt;10^6)输出输出一个数字，表示所求的数。样例输入复制3
5
12
2018样例输出复制21
127
3350309提示来源解题思路：如果用常规方法时间会超限，把每个数的正约数存在一个数组里。...

			
		

	





	

		

			

				
					
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（1）一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为：

，那么它的正因数个数为

（2） 它的全体正因数之和为

因子数
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 1000
int p[N],a[N];
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	int k = 0;
	//...

			
		

	



		

			
		



	

		

			

				
					
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代码


#include&lt;bits/stdc++.h&gt;
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+10;
int main()
{
    ll n;int caset;
    scanf("%d",&amp;caset);
    while(caset--) {
        scanf...

			
		

	





	

		

			

				
					
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将N分解质因数，
例如：N=360=2*2*2*3*3*5；
360=2^3*3^2*5
约数共有4*3*2个
其约数为2^i*3^j*5^k(0
故约数之和为
(1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)=1080
(上面括号中，每一个乘出来均为360的约数)
分解质因数模板：


void GetPrim()          //  筛选素数(模板)；
  {     

			
		

	





	

		

			

				
					
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“别人总说我瓜，其实我一点也不瓜，大多数时候我都机智的一批“
最近家里有矿的都去玩一款叫作易水寒的游戏了。聪明的宝儿姐发现易水寒里面的壕真是太多了，他们可以直接用RMB购买游戏币。但是这个游戏币的价格是会浮动的，于是宝儿姐就从某易内部获得了将来n天的游戏币价格，想要以此
来赚取差价。但是呢，宝儿姐又太穷了，不管价格怎么浮动，相对宝儿姐来说她都只能买得起一枚游戏币，请你...

			
		

	





	

		

			

				
					
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题目描述

“别人总说我瓜，其实我一点也不瓜，大多数时候我都机智的一批“
现在是阳历2018/8/7，宝儿姐想起自己参加ACM整整1000天了。她想知道她刚入坑是什么时间。那么问题来了，请帮宝儿姐追忆一下某个时间之前n天是什么时间吧。

输入

多实例输入以EOF结束
每行四个数字year month day n用空格隔分别代表 当前年月日，以及查询天数。


输出

输出一个日期，年月日用空格...

			
		

	





	

		

			

				
					
求因子和（函数专题）， 输入正整数n（2大于n小于1000），计算并输出n的所有正因子(包括1，不包括自身)之和。

				
			

			

				

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题目描述
输入正整数n（2<=n<=1000），计算并输出n的所有正因子(包括1，不包括自身)之和。要求程序定义一个FacSum ()函数和一个main()函数，FacSum ()函数计算并返回n的所有正因子之和，其余功能在main()函数中实现。
int FacSum(int n)
{
//计算n的所有正因子(包括1，不包括自身)之和sum，本函数返回sum
}
输入
输入正整数n（...

			
		

	





	

		

			

				
					
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{
    printf("%d=",n);
    int flag = 0;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++){
        while(n%i == 0){
            n = n/i;

			
		

	





	

		

			

				
					
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2140: 学无止境
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[Submit] [Status] [Web Board] [Creator:admin]
Description
“别人总说我瓜，其实我一点也不瓜，大多数时候我都机智的一批“
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前言
一段时间里不知道要写什么好，遇不见适合分享的东西，也懒了一点儿。本篇是关于求正整数正因数和的，另外有一些类似的引申。

一、普通的眼光
首先，一个正整数可以根据素因式分解唯一定理得到一个唯一的素数乘积的表示形式：
a=p1α1p2α2…pmαma=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_m^{\alpha_m}a=p1α1​​p2α2​​…pmαm​​
于是它的任意一个因式可以表示为：
p1β1p2.

			
		

	





	

		

			

				
					
数塔

				
			

			

				

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如0.111111111……，输入  1 ， 输出  1/9,输入数据有多组，每组占一行，为某小数的循环节（不高于6位）。输入某个小于1的小数的循环节，请将这个小数化成分数的形式，0.27272727……，输入  27， 输出 3/11；0.18181818……，输入  18，输出 2/11；输出占一行，输出 分子/分母；

			
		

	





	

		

			

				
					
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#include<stdio.h>
int n,m;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	printf("%d %d %d %d %d\n",n+m,n-m,n*m,n/m,n%m);
	return 0;
}




			
		

	





	

		

			

				
					
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对于每一个次查找，有一行输出。若序列中存在要查找的元素x，则输出元素x在序列中的序号（序号从0开始）；若序列中不存在要查找的元素x，则输出"Not found!首先输入一个正整数n，表示该序列有n个整数，然后按从小到大的顺序输入n个整数；最后是m个整数，表示m个要查找的整数x。接着是一个正整数m，表示有m次查找；在有序序列中查找某一元素x。

			
		

	





	

		

			

				
					
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http://acm.hi-54.com/problem.php?pid=2113
题意：
给出总金钱数E,和每次搬运需要的金钱数F,（每次可以拿走体积为1 的小正方体，当然也可以将一个小正方体从i出移到j处 花费都是F）
然后给出矩阵行和列n，m （e<10^12,n<100,m<100）
下面就是n*m个数，不同的数表示对应的高度。
求出在三视图保持不变以及不超...

			
		

	





	

		

			

				
					
python计算2个正整数公约数之和

					
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<think>根据用户需求，需要计算两个正整数的所有公约数之和。注意不是最大公约数，而是所有公约数的和。
 我们可以先求出两个数的所有公约数，然后求和。
 方法：
 1. 先找到两个数的最大公约数（因为公约数都是最大公约数的约数）。
 2. 然后找出最大公约数的所有约数（即两数的所有公约数）。
 3. 将这些约数求和。

 另一种方法是直接遍历从1到最大公约数（因为公约数不会超过最大公约数），找出最大公约数的所有约数（也就是两数的公约数），然后求和。

 注意：根据定义，公约数包括1和最大公约数本身。

 步骤：
 步骤1：计算两个数的最大公约数（gcd）。可以使用欧几里得算法（辗转相除法）或者直接使用math.gcd。
 步骤2：得到最大公约数g后，求g的所有约数（因子）。
 步骤3：对得到的约数列表求和。

 但是注意，题目要求的是两个正整数的公约数之和，所以这些公约数就是最大公约数的所有约数。

 示例：比如12和18，最大公约数是6，6的约数是1,2,3,6，那么公约数之和就是1+2+3+6=12。

 因此，我们可以先写一个函数求最大公约数（或者直接使用math.gcd），再写一个函数求一个数的所有约数，然后求和。

 考虑到效率，求约数时不需要遍历到n，只需遍历到sqrt(n)即可。

 但是注意：用户要求的是两个正整数的公约数之和，我们不需要分别求两个数的约数再取交集，因为我们已经知道公约数就是最大公约数的约数。

 因此，我们可以这样实现：
 1. 计算gcd(a, b) -> g
 2. 计算g的所有约数，并求和。

 但是，如果两个数的最大公约数是1，那么公约数只有1，和就是1。

 代码结构：
   def gcd(a, b):  # 计算最大公约数
        while b:
            a, b = b, a % b
        return a

   def get_divisors(n):  # 求一个数的所有约数（因子）
        divisors = set()
        for i in range(1, int(n**0.5)+1):
            if n % i == 0:
                divisors.add(i)
                divisors.add(n//i)
        return divisors

   def sum_common_divisors(a, b):
        if a <=0 or b<=0:
            return "输入必须是正整数"
        g = gcd(a, b)
        divisors = get_divisors(g)
        return sum(divisors)

 但是注意，题目要求输入两个正整数，所以我们可以假设输入为正整数，但为了健壮性，可以检查一下。

 另外，也可以不单独求所有约数，而是直接遍历1到g（最大公约数），判断是否为g的约数，然后累加。但是当g很大时，这样效率较低。所以使用上述求约数的方法（遍历到平方根）更高效。

 根据引用[4]中，有使用递归求最大公约数的方法，但这里我们可以使用更高效的辗转相除法（非递归）。

 我们参考上述引用中的方法，比如引用[5]使用了循环求最大公约数（辗转相除法）。

 因此，我们按照上述思路编写代码。

 注意：公约数包括1和最大公约数本身，所以求约数的函数会包括这些数。

 编写代码：
  首先，定义求最大公约数的函数（使用欧几里得算法）。
  然后，定义求一个数的所有约数（为了效率和避免重复，使用集合）。
  最后，将约数求和。

 但是，用户要求的是“公约数之和”，所以返回的就是最大公约数的所有约数的和。

 下面我们实现代码。
</think>以下是使用Python计算两个正整数所有公约数之和的方法：

### 算法思路
1. **计算最大公约数(GCD)**  
   使用辗转相除法（欧几里得算法）求GCD，公式为：  
   $$ \gcd(a,b) = \gcd(b, a \bmod b) \quad \text{直到} \quad b=0 $$

2. **获取公约数**  
   所有公约数均为GCD的约数，通过遍历$1$到$\sqrt{\text{gcd}}$找出所有约数。

3. **求和**  
   将所有公约数累加得到最终结果。

### Python实现代码
```python
def gcd(a, b):
    """计算最大公约数"""
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

def sum_common_divisors(x, y):
    """计算两个正整数的公约数之和"""
    g = gcd(x, y)
    divisors = set()
    # 遍历1到√g，高效获取所有约数
    for i in range(1, int(g**0.5) + 1):
        if g % i == 0:
            divisors.add(i)
            divisors.add(g // i)
    return sum(divisors)

# 输入验证与主逻辑
if __name__ == '__main__':
    try:
        a = int(input("输入第一个正整数: "))
        b = int(input("输入第二个正整数: "))
        if a <= 0 or b <= 0:
            raise ValueError("必须输入正整数")
        result = sum_common_divisors(a, b)
        print(f"{a}和{b}的公约数之和为: {result}")
    except ValueError as e:
        print(f"错误: {e}")
```

### 执行示例
```
输入第一个正整数: 12
输入第二个正整数: 18
12和18的公约数之和为: 12
```
**解释**：  
12和18的公约数为{1, 2, 3, 6}，和为$1+2+3+6=12$。

### 关键点说明
1. **辗转相除法**：高效计算GCD（时间复杂度$O(\log n)$)[^1]。
2. **约数遍历优化**：仅需遍历$1$到$\sqrt{\text{gcd}}$，降低时间复杂度至$O(\sqrt{n})$[^2]。
3. **集合去重**：确保约数不重复存储。

### 备选方案
使用`math.gcd`简化实现（需导入标准库）：
```python
import math

def sum_common_divisors(x, y):
    g = math.gcd(x, y)
    return sum(i for i in range(1, g + 1) if g % i == 0)
```

			
		

	



              




          




        



    





    



      

      

        
      

      





	

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