<洛谷10月月赛R1·浴谷八连测R1·提高组·T1 3927 > 快速求1~n中的某一因子个数之和

*PS:一次胡策的题，改成了多组数据，所以代码也是多组数据的qwq

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题目背景

SOL君（炉石主播）和SOL菌（完美信息教室讲师）是好朋友。

题目描述

SOL君很喜欢阶乘。而SOL菌很喜欢研究进制。

这一天，SOL君跟SOL菌炫技，随口算出了n的阶乘。

SOL菌表示不服，立刻就要算这个数在k进制表示下末尾0的个数。

但是SOL菌太菜了于是请你帮忙。

输入输出格式

输入格式：
每组输入仅包含一行：两个整数n，k。

输出格式：
输出一个整数：n!在k进制下后缀0的个数。

输入输出样例

输入样例#1：
10 40
输出样例#1：
2

说明

对于20%的数据，n <= 1000000， k = 10

对于另外20%的数据，n <= 20， k <= 36

对于100%的数据，n <= 10^12，k <= 10^12

update

1.一组数据

2.K不会==1

3.现在std没有爆long long

4.对数据有问题联系icy （建议大家不要面向数据编程）

如何求一个数在k进制下末尾0的个数。
我们发现，10进制下，2*5–> 1个末尾0 ; 2进制下 ，2 –>1个末尾0。那么求一个数在k进制下末尾零的个数即把k进行质因数分解，同时找出这个数中所包含的各个因子的个数（如果需要3个2 则3个2记作1个） 取min。
问题转化为k的质因数分解和如何快速统计n！中的k的因子个数。

问题1：k的质因数分解

从1 for 到 sqrt（n），对于每个因子i都是一直除到不能除为止，所以并不需要先进行素数筛（之前的因子已经完全除尽了）。

代码|ω･`)

void Done(long long x)
{
    Cnt=0;
    for(long long i=2;i<=sqrt(K);++i)
    {
        if(x%i==0) P[++Cnt].name=i,P[Cnt].cnt=0;
        while(x%i==0) 
        {
            ++P[Cnt].cnt;
            x/=i;
        }    
        if(x==1||i>x) break;
    }
    if(x!=1) P[++Cnt]=(maple){x,1};
}

问题2：快速求1~n中某一因子个数之和。

对于 a^k < =n < a ^k+1

如 在1~9 中求因子2的个数之和

　　　 　　1 2 3 4 5 6 7 8 9
发现： 　　　　　　　　　　　　　　除以
　　2^1　　1　 1 　1　 1
　　2^2　 　　 １　　　１
　　2^3　　　　　　　 １

共有 2^3/2^1+2^3/2^2+2^3/2^3个。

故 1~n中因子a的个数之和为：

a^k/a^1+a^k/a^2+a^k/a^3+…+a^k/a^k

因为计算机会自动下取整 故 1~n中因子a的个数为

n/a^1+n/a^2+n/a^3+…+n/a^k

代码|ω･`)

int A=a;
while(A<=N)
{
     Ans+=N/A;
     A*=a;
}

---

这道题的代码|・ω・｀)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

long long N,K,ans,cnt,Cnt;

struct maple{
    long long name,cnt;
}P[10000000];
void Done(long long x)
{
    Cnt=0;
    for(long long i=2;i<=sqrt(K);++i)
    {
        if(x%i==0) P[++Cnt].name=i,P[Cnt].cnt=0;
        while(x%i==0) 
        {
            ++P[Cnt].cnt;
            x/=i;
        }    
        if(x==1||i>x) break;
    }
    if(x!=1) P[++Cnt]=(maple){x,1};
}
int main()
{
    while(scanf("%lld%lld",&N,&K)!=EOF)
    {
        ans=1e16+7;
        Done(K);
        for(long long i=1;i<=Cnt;++i)
        {
            long long A=P[i].name,a=P[i].name,Ans=0;
            while(a<=N)
            {
                Ans+=N/a;
                a*=A;
            }
            Ans/=P[i].cnt;
            ans=min(ans,Ans);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;    
}