线性相关与线性无关

5.1.3线性相关与线性无关

定义1
设$V$是数域$F$上的线性空间，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\in V$,如果$F$中存在$n$个不全为零的数$k_1,k_2,\cdots ,k_n$使得$$\sum _{i=1}^n{k}_i{\alpha }_i=\theta$$则称
${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性相关，否则称${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性无关.
线性无关亦可等价叙述为：
如果对$F$中$n$个数$k_1,k_2,\cdots ,k_n$当$\sum _{i=1}^n{k}_i{\alpha }_i=\theta$时，必可推出$k_i=0(i=1,2,\cdots ,n)$
或者说，
只要$k_1,k_2,\cdots ,k_n$不全为0，则$\sum _{i=1}^n{k}_i{\alpha }_i$必不为$\theta$.
定义2
设$V$是数域$F$上的线性空间，对向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\in V$,数$k_1,k_2,\cdots ,k_n\in F$,则称$\sum _{i=1}^n{k}_i{\alpha }_i$是${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$的一个线性组合.如果向量$\beta$能够写成$\sum _{i=1}^n{k}_i{\alpha }_i$,则称$\beta$可以由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性表出.或者说$\beta$是${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$的线性组合.
定义3
设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$与${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m$是线性空间$V$中两组向量，如果每个${\alpha }_i(i=1,2,\cdots ,n)$都可以由向量组${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m$线性表出，我们就称向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$可由向量组${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m$线性表出.若两个向量组可以互相线性表出，就称这两个向量组等价.

定理1
设$V$是一个线性空间，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n(n\ge 2)$是$V$中向量，则${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性相关的充分必要条件是${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$中必有一个向量${\alpha }_i$可由其余的${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_{i-1},{\alpha }_{i+1},\cdots ,{\alpha }_n$线性表出.
定理2
设$V$是一个线性空间，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n,\beta$是$V$中的向量，若${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性无关，而${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n,\beta$线性相关，则$\beta$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性表出，且表示法唯一.
定理3
设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$与${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m$是线性空间$V$中的两组向量，若${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$可由${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m$线性表出，且$n>m$，则${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性相关.$$\Downarrow$$
推论：
如果${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$可由${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$线性表出，且${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性无关，则$m\ge n$.