图论及其应用：第三次作业

最新推荐文章于 2024-01-19 11:27:25 发布

牛码当驴

最新推荐文章于 2024-01-19 11:27:25 发布

阅读量2.3k

点赞数 8

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：图论文章标签：图论算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_46091520/article/details/121131335

图论及其应用：第三次作业

题一最多可以将地球分成几个区域，使任何两个区域都相邻。

将每个区域看成一个点，如果两个区域相邻，则在这两个点之间有边，以为任意两个区域相邻，所以形成的图是一个完全图，同时该图一定是平面图（因为是地球），由于当 $n≥3n\geq3$ 时平面图满足 $m≤3n−6m\leq{3n-6}$ 所以有 $n(n−1)2≤3n−6\frac{n(n-1)}{2}\leq{3n-6}$ ,解得 $3≤n≤43\leq{n}\leq{4}$ ，所以地球最多可以分为四个区域。

题二证明有 10 个顶点的 5 正则图不是平面图。

记 $G = (n, m)$

由题意可知, $2m=∑v∈Vd(v)=502m=\sum_{v\in{V}d(v)}=50$ ,即 $m = 25$ ,且 $3 n - 6 = 24$

所以 $m > 3 n - 6$ 。故图 $G$ 不是平面图。

题三考察图 G ≜ (V, E)，记 χ(G) 为 G 的点色数，证明：

• 如果 ∀v ∈ V : χ(G - v) = χ(G) - 1， G 连通；

反证法。 假设 $ G$ 不连通，不妨设 $G$ 有连通分支 $G_1$ 和 $G_2$ ,设 $χ(G1)=χ(G),χ(G2)≤χ(G)\chi(G_1)=\chi(G),\chi(G_2)\leq\chi(G)$ ,则若删去 $G 2$ 中的一点，则 $G 1$ 点色数不变，即 $χ(G1),χ(G2)}=χ(G)≠χ(G)−1\chi(G)=max\{\chi(G_1),\chi(G_2)\}=\chi(G)\neq\chi(G)-1$ ，矛盾。所以 $G$ 是完全图。

• 如果 ∀x, y ∈ V : χ(G - x - y) = χ(G) - 2， G 是完全图。

解：

**反证法。**假设 $G$ 不是完全图，则存在至少两个点 $u, v$ ，并且 $u, v$ 之间没有边，则 $u, v$ 可着相同种颜色，则删去这两个点， $χ(G−u−v)=χ(G)−1≠χ(G)−2\chi(G-u-v) = \chi(G)-1\neq\chi(G)-2$ ，矛盾，所以 $G$ 是完全图。

题四图 G 有 n 个顶点，记 G¯ 为 G 的补图，证明：8.1.4

• χ(G)χ(G¯) ≥ n；

设 $χ(G)=k\chi(G)=k$ ，则 $G$ 中有 $k$ 个色组，则其中至少有一个色组有 $⌈nk⌉\lceil \frac{n}{k}\rceil$ 个，这个色组内部任意两点之间都没有边，则在 $G‾\overline{G}$ 中，这个色组内的任意两点之间都有边，即是完全图，所以色数至少为 $⌈nk⌉\lceil \frac{n}{k}\rceil$ 种，因此 $χ(G)χ(G‾)≥k∗⌈nk⌉≥n\chi(G)\chi(\overline{G})\ge k*\lceil \frac{n}{k}\rceil\ge n$