图论及其应用：第二次作业

图论及其应用：第二次作业
1.题一 某医院急诊某夜有 169 名病人需要输血，假设每人需要 1 个单位的血量，对 A, B, O, AB
四种血型的需求分别是 39, 38, 42, 50 单位，医院共有 170 单位的储备，对应 A, B, O, AB 分别为
46, 34, 45, 45 单位。
（1）请用最大流模型求解最多可以满足多少病人；
（2）找出一个容量小于 169 的割，并向精通医学然而并不十分精通图论的医院工作人员用他们可
以理解的方式解释为什么不能满足所有病人。

题二 已知图中任何两条边的权值不相等，证明以下两个结论成立：

• 任何割中的最短的边在所有的最小生成树中；

• 任何圈中的最长边不在任何一棵最小生成树中。

证明：

• （反证法）设一个割把图G分为（S,T）,边（u，v)是这个割中最短的边且$u\in S,v\in T$，假设该边不在G的一棵最小生成树中,由生成树的定义可得，必定存在一点$w\in S$,（w,v)在生成树上且（w,v)比(u,v)短，与条件"(u,v)是该割中最短的边矛盾"，所以边(u,v),在该生成树上。
• （反证法）由树的定义（无圈连通图）可知，任何圈都至少会被删去一条边，假设生成树$T$包含了一条最长的边。将这条最长边除去，同时添加另一条之前被删去的边，则所得的生成树的权值和更小，矛盾。

题三 给定任一有偶数条边且每个顶点度数为偶数的连通图 G，证明可以把每条边染成黑白两种颜色中的一种，对每个顶点，与之相连的黑边与白边一样多。

因为$G$的顶点个数都是偶数，所以存在欧拉回路。从一个起点出发走这个欧拉回路，在这个过程中交替将边染成黑色和白色，因为边数是偶数，所以起点发出的边和终点发出的边颜色一定相反。所以对起点来说黑色边和白色边一样多，由于任意顶点都可以作为起点和终点，所以对每个顶点，与之相连的黑边和白边是一样多的。

题四 G = (V, E) 为简单 Euler 图，证明或推翻以下推断：

1. 若 G 是偶图，则 m = |E| 为偶数；

将偶图$G$分为两个部分$S$和$T$,由偶图的定义可知，$S$和$T$内部的节点都没有直接相连的边，从一个节点出发走欧拉回路，假如从$S$的一个顶点出发，则下一步一定是走到$T$的一个顶点，再下一步又是走回$S$的一个顶点，一次类推，则所形成的的欧拉回路一定是由从$S$到$T$的边和从$T$到$S$的边交替形成的回路,并最终回到起点。因此所以$m$为偶数。

• 若 n = |V | 是偶数，则 m 也是偶数；

假命题。

如下图，该图有欧拉回路$ABCDEFDA$, 并且有6个顶点(偶数个)但有7条边（奇数条）。

• e 与 f 为关联的两条边，他们必然连续出现在某条 Euler 回路里。

假命题。

在下图中，$AD$和$CD$相关联，但他们在任意欧拉回路中都不连续出现。

题五 给定每边长度为一的连通偶图 G 以及顶点 v ∈ V (G)，证明对 G 中所有的边 xy ∈ E(G)， v到 x 的最短路不可能和 v 到 y 的最短路一样长。

有偶图的定义可知，可将图$G$分为两个部分$S$和$T$,$S$和$T$的内部节点没有直接相连的边，对于任意边$xy$,不妨设$x\in S,y\in T,V\in S$ ，由于偶图中的路径一定是交替从$S$到$T$和从TT