二维坐标系转换（图纸坐标 -＞ 设备坐标）

需求场景：不考虑z轴，已知两点的图纸坐标和设备坐标，计算图纸上其他坐标点的设备坐标。
算法核心思想：已知两点的图纸坐标$P_1$和$P_2$，及对应的设备坐标$P_1^{{}^{\prime }}$和$P_2{}^{\prime }$。对于图纸上任意一点$P$，对图纸上两点间的向量$\overrightarrow{P_{1}P}$进行缩放和旋转得到$\overrightarrow{P_1^{{}^{\prime }}{P}^{{}^{\prime }}}$，再将$\overrightarrow{P_1^{{}^{\prime }}{P}^{{}^{\prime }}}$平移至$P_1^{{}^{\prime }}$，即可得到P点的设备坐标$P^{{}^{\prime }}$。至于缩放系数$S$和旋转角度$\theta$可通过分析$\overrightarrow{P_1{P}_2}$和$\overrightarrow{P_1^{{}^{\prime }}{P}_2^{{}^{\prime }}}$得知。

预备知识

三角和差公式

$$\begin{gathered} cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB \\ sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

反正切函数

$$\begin{gathered} \theta =arctan(\frac{y}{x}) \\ atan2(y,x)=\{\begin{array}{ll}arctan(\frac{y}{x})& x>0\\ arctan(\frac{y}{x})+\pi & y\ge 0,x<0\\ arctan(\frac{y}{x})-\pi & y<0,x<0\\ +\frac{\pi }{2}& y>0,x=0\\ -\frac{\pi }{2}& y<0,x=0\\ undefined& y=0,x=0\end{array}\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

• $\theta$为斜率对应的角度$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$，$atan2(y,x)$求解向量对应的角度(向量角)$[-\pi ,\pi ]$。

仿射变换

变换前：$P(x,y)$，变换后：$P^{\prime }(X,Y)$

平移

$$\begin{gathered} X=x+dx \\ Y=y+dy\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$

• $dx$和$dy$分别为点在$x$方向上的和在$y$方向上的变换量。

缩放

$$\begin{gathered} X=S_{x}x \\ Y=S_{y}y\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$

• $S_x$和$S_y$分别为点在$x$方向上的和在$y$方向上的缩放系数。
• 在图纸坐标 -> 设备坐标过程中，应保证$S_x=S_y$，若$S_x!=S_y$，可先对设备坐标的y轴进行缩放，使得$S_x=S_y$，最后再缩放回来。

旋转

旋转前：
$$\begin{gathered} x=r\ast cos\alpha \\ y=r\ast sin\alpha \text{\hspace{1em}(5)} \end{gathered}$$
逆时针旋转$\theta$角度后：
$$\begin{gathered} X=r\ast cos(\alpha +\theta ) \\ Y=r\ast sin(\alpha +\theta )\text{\hspace{1em}(6)} \end{gathered}$$
由$(2)$和$(5)$，可将$(6)$化简为：
$$\begin{gathered} X=xcos\theta -ysin\theta \\ Y=ycos\theta +xsin\theta \text{\hspace{1em}(7)} \end{gathered}$$

参数求解

缩放系数$S$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{|P_1{P}_2|}=\sqrt{(P_{2x}-P_{1x}{)}^2+(P_{2y}-P_{1y}{)}^2} \\ \overrightarrow{|P_1^{{}^{\prime }}{P}_2{}^{\prime }|}=\sqrt{(P{{}^{\prime }}_{2x}-P{{}^{\prime }}_{1x}{)}^2+(P{{}^{\prime }}_{2y}-P{{}^{\prime }}_{1y}{)}^2} \\ S=\frac{\overrightarrow{|P_1^{{}^{\prime }}{P}_2{}^{\prime }|}}{\overrightarrow{|P_1{P}_2|}}\text{\hspace{1em}(8)} \end{gathered}$$

旋转角度θ

由$(2)$可知：
$$\begin{gathered} \alpha =atan2(P_{2y}-P_{1y},P_{2x}-P_{1x}) \\ {\alpha }^{{}^{\prime }}=atan2(P{{}^{\prime }}_{2y}-P{{}^{\prime }}_{1y},P{{}^{\prime }}_{2x}-P{{}^{\prime }}_{1x}) \\ \theta ={\alpha }^{{}^{\prime }}-\alpha \text{\hspace{1em}(9)} \end{gathered}$$

• 这里求得的即是$(7)$中的旋转角度，可直接带入。

完整代码

C++

#include <iostream>
#include <cmath>

struct Point {
    double x, y;
};

//计算向量的模
double norm(Point a, Point b) {
    return std::sqrt((b.x - a.x) * (b.x - a.x) + (b.y - a.y) * (b.y - a.y));
}

Point transformPoint(Point p1a,Point p1b,Point p2a,Point p2b,Point pa){
    //计算缩放系数(公式8)
    double norm_a=norm(p1a,p2a);
    double norm_b=norm(p1b,p2b);
    double S=norm_b/norm_a;

    //计算旋转角度(公式9)
    double alpha_a=std::atan2(p2a.y-p1a.y, p2a.x-p1a.x);
    double alpha_b=std::atan2(p2b.y-p1b.y, p2b.x-p1b.x);
    double theta=alpha_b-alpha_a;

    //p1a->p2a向量
    Point vec_p1a_pa={pa.x-p1a.x,pa.y-p1a.y};
    
    //应用缩放(公式4)
    Point with_scale;
    with_scale.x=S*vec_p1a_pa.x;
    with_scale.y=S*vec_p1a_pa.y;

    //应用旋转(公式7)
    Point with_rotated;
    with_rotated.x=with_scale.x*std::cos(theta) - with_scale.y*std::sin(theta);
    with_rotated.y=with_scale.y*std::cos(theta) + with_scale.x*std::sin(theta);

    //平移至p1b(公式3)
    Point pb;
    pb.x=with_rotated.x + p1b.x;
    pb.y=with_rotated.y + p1b.y;

    return pb;
}

int main() {
    Point p1a = {5.82, 5.72}, p1b = {687.6,60.9};
    Point p2a = {36.82, 38.92}, p2b = {718.2,94.3};
    Point pa = {26.32,38.92};
    Point pb = transformPoint(p1a,p1b,p2a,p2b,pa);
    std::cout << "Transformed point: (" << pb.x << ", " << pb.y << ")" << std::endl;

    return 0;
}

如果要转换的点非常多，可以使用矩阵的方式，我抽空另开博文。

参考资料

西凉阿土伯_二维图形的坐标变换矩阵推导及齐次坐标的深入理解_bilibili