【笔记】 通信原理 第九章 数字信号的最佳接收

第九章 数字信号的最佳接收

研究目的：在噪声干扰下，如何最佳地接收有用信号，使接受性能达到最优。

最佳：相对概念，在某种准则下的最佳（差错概率准则、输出信噪比最大准则）。

9.1数字信号的统计特性

​ 假设在数字通信系统中，发送二进制码元1和0。若噪声是高斯白噪声，则其在任意两个时刻上的抽样值都是互相独立的。若噪声是限带高斯白噪声，其最高频率分量小于$f_H$，则在以不小于奈奎斯特速率抽样时，各抽样值之间也是相互独立的。其k维联合概率密度函数为
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​ 其可以改写为
$$f_k(n_1,n_2,\cdots ,n_k)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi }{\sigma }_n{)}^k}exp[-\frac{1}{n_0}{\int }_0^{T_s}{n}^2(t)dt]$$
​ 因为接收电压为信号电压与噪声电压之和，所以噪声电压可以用接收电压减去信号电压表示，带入到上式中，得到接收电压的k维联合概率密度函数。

9.2数字信号的最佳接收

• 将错误概率最小作为最佳准则。

• 错位概率函数的表达式为

• $$P_e=P(1){\int }_{-\infty }^{r_0^{\prime }}{f}_1(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}+\mathrm{P}(0){\int }_{{\mathrm{r}}_0^{\prime }}^{\infty }{\mathrm{f}}_0(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}$$

• 对其求导数可以求得最佳分界点r0：

• $$\frac{P(1)}{P(0)}=\frac{f_0({\mathbf{r}}_0)}{f_1({\mathbf{r}}_0)}$$

• 当先验概率相等时，最佳分界点为两条曲线的交点。

• 最大似然判决准则：

• $$\{\begin{array}{l}\frac{P(1)}{P(0)}<\frac{f_0({\mathbf{r}}_0)}{f_1({\mathbf{r}}_0)},\text{判为0}\\ \frac{P(1)}{P(0)}>\frac{f_0({\mathbf{r}}_0)}{f_1({\mathbf{r}}_0)},判为1\end{array}$$

• 最大后验概率准则：

• $$\{\begin{array}{l}{f}_r(0)>f_r(1),判为0\\ f_r(0)<f_r(1),判为1\end{array}$$

  其中$f_r(1)$为收到r后发送1的条件概率，$f_r(0)$为收到r后发送0的条件概率。

9.3确知数字信号的最佳接收机

​ 假设一个二进制数字通信系统中，两种接收码元的波形的持续时间相同，且能量相同，则若
$$\begin{gathered} W_1+{\int }_0^{T_B}r(t)s_1(t)dt<W_0+{\int }_0^{T_B}r(t)s_0(t)dt \\ s.t.\{\begin{array}{l}{W}_0=\frac{n_0}{2}lnP(0)\\ W_1=\frac{n_0}{2}lnP(1)\end{array} \end{gathered}$$
则判定位发送码元是$s_0(t)$，反之则为$s_1(t)$。$W_0$和$W_1$可以看作是由先验概率决定的加权因子。

​ 二进制最佳接收机的原理框图为

若二进制信号的先验概率相等，则不需要加上加权因子，积分后直接比较判决。上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，所以称这种算法为相关接收法。

9.4确知数字信号最佳接收的误码率

• 总误码率为：

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其中
$$\begin{gathered} a=\frac{n_0}{2}ln\frac{P(0)}{P(1)}-\frac{1}{2}{\int }_0^{T_B}[s_1(t)-s_0(t){]}^{2}dt \\ b=\frac{n_0}{2}ln\frac{P(1)}{P(0)}-\frac{1}{2}{\int }_0^{T_B}[s_0(t)-s_1(t){]}^{2}dt \end{gathered}$$

• 若先验概率相等，a=b，在误码率表达式可以化简为

$$\begin{gathered} P_e=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_{\xi }}{\int }_{-\infty }^c{e}^{-\frac{x^2}{2{\sigma }_{\xi }^2}}dx \\ s.t.c=-\frac{1}{2}{\int }_0^{T_B}[s_0(t)-s_1(t){]}^{2}dt \end{gathered}$$

• 当先验概率相等时，对于给定的噪声功率${\sigma }_{\xi }^2$，误码率仅和两种码元波形之差$[s_0(t)-s_1(t)]$的能量有关，而与波形本身无关，差别越大，c越小，误码率也越小。（考研复试问过！！！）先验概率不等时的误码率小于相等时的误码率，就误码率而言，先验概率相等是最坏的情况。

• 因为误码率完全取决于信号码元的区别，所以我们可以用码元的相关系数$\rho$来定量地描述码元的区别。

$$\rho =\frac{{\int }_0^{T_B}{s}_0(t)s_1(t)dt}{\sqrt{E_0{E}_1}}$$

其中，$E_0、E_1$为码元的能量。当两种信号码元波形相等时，码元相关系数最大，为1。波形相反时，码元相关系数最小，为-1。

• 当两种码元的能量相等时，$E_0=E_1=E_b$。

ρ = ∫ 0 T B s 0 ( t ) s 1 ( t ) d t E b P e = 1 2 { 1 − e r f [ E b ( 1 − ρ ) 2 σ ξ ] } = 1 2 e r f c [ E b ( 1 − ρ ) 2 n 0 ] s . t .     e r f ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − z 2 d z \rho=\frac{\int_0^{T_B}s_0(t)s_1(t)dt}{E_b}\\ P_e=\frac12\{1-erf[\frac{E_b(1-\rho)}{\sqrt2\sigma_\xi}]\}=\frac12erfc[\sqrt{\frac{E_b(1-\rho)}{2n_0}}]\\ s.t.~~~erf(x)=\frac2{\sqrt\pi}\int_0^xe^{-z^2}dz ρ=Eb​∫0TB​​s0​(t)s1​(t)dt​Pe​=21​{1−erf[2 ​σξ​Eb​(1−ρ)​]}=21​erfc[2n0​Eb​(1−ρ)​ ​]s.t.   erf(x)=π ​2​∫0x​e−z2dz

该公式给出了理论上 二进制 等能量 数字信号误码率的最佳值（最小可能值）。所以，误码率仅与$E_b/n_0$和相关系数$\rho$，与信号波形和噪声功率无关。$E_b/n_0$实际上等于信号噪声功率比$P_s/P_n$。

*9.5随相数字信号的最佳接收

经过信道传输后码元相位带有随机性的信号称为随相信号。

​ 上图是随相信号最佳接收机结构图，随相信号最佳接收机得到的误码率为
$$P_e=\frac{1}{2}exp(-E_b/2n_0)$$
因为随相信号的相位带有由信道引入的随机变化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。

*9.6起伏数字信号的最佳接收

起伏信号是包络随机起伏，相位也随机变化的信号。

​ 起伏信号最佳接收机的结构和随相信号相同，但误码率为
$$P_e=\frac{1}{2+(\overline{E}/n_0)}$$
其中$\overline{E}$为接收码元的统计平均能量。

9.7实际接收机和最佳接收机的性能比较

接收方式	实际接收机的$P_e$	最佳接收机的$P_e$
相干接收的2ASK	$\frac{1}{2}erfc(\sqrt{r}/4)$	$\frac{1}{2}erfc({\sqrt{E}}_b/4n_0)$
非相干接收的2ASK	$\frac{1}{2}exp(-r/4)$	$\frac{1}{2}exp(-E_b/4n_0)$
相干接收的2FSK	$\frac{1}{2}erfc\sqrt{r/2}$	$\frac{1}{2}erfc\sqrt{E_b/2n_0}$
非相干接收的2FSK	$\frac{1}{2}exp(-r/2)$	$\frac{1}{2}exp(-E_b/2n_0)$
相干接收的2PSK	$\frac{1}{2}erfc\sqrt{r}$	$\frac{1}{2}erfc\sqrt{E_b/n_0}$
差分相干接收的2DPSK	$\frac{1}{2}exp(-r)$	$\frac{1}{2}exp(-E_b/n_0)$
相干接收的2DPSK	$erfc\sqrt{r}(1-\frac{1}{2}erfc\sqrt{r})$	$erfc\sqrt{E_b/n_0}(1-\frac{1}{2}erfc\sqrt{E_b/n_0})$

1. 在实际接收机中的信号噪声功率比r相当于最佳接收机的码元能量与噪声功率谱密度之比$E_b/n_0$。
2. 当系统恰好带宽满足奈奎斯特准则时，$E_b/n_0$就等于信号噪声功率比。

9.8数字信号的匹配滤波接收法

滤波器的作用：使有用信号尽可能强，抑制带外噪声。

最佳线性滤波器设计准则：

1.输出信号与发送信号之间的均方误差最小（维纳滤波器）。

2.令输出信噪比最大的线性滤波器称为匹配滤波器。

• 匹配滤波器的传输特性为

$$H(f)=k{S}^{\ast }(f)e^{-j2\pi f{t}_0}$$

它等于信号码元频谱的复共轭。

• 匹配滤波器的时域特性为

$$h(t)=ks(T_B-t)$$

• 匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器。经过匹配滤波器的输出信号为

$$s_o(t)=kR(t-T_B)$$

输出信号码元波形是输入信号码元波形的自相关函数的k倍。k是一个常数，与r₀的最大值无关，通常取k=1。

• 最大输出信噪比与信号波形无关，只取决于信号能量E和噪声功率谱密度n₀，所以匹配滤波器适用于系带数字信号和已调数字信号。
• 对于二进制确知信号，匹配滤波器构成的接收电路框图如图所示
• 

哪个匹配滤波器的输出抽样值更大，就判决哪个为输出。

• 输入信号经过匹配滤波器，得到的输出波形实际上是一种相关积分运算。用相关运算代替匹配滤波器，可以得到相关接收法框图
• 

PS：实际上，积分器或匹配滤波器具有清零端子，在每次抽样判决的同时进行清零（猝息），以便为下一个码元腾空积分器。

• 匹配滤波器还可以对随相信号和起伏信号进行接收。

9.9最佳基带传输系统

设计目的：无码间串扰的同时，误码率最小。

信道的传输特性$C(f)$不易知，在系统设计时有两种分析方法：第一种是假设其具有理想特性，$C(f)=1$。第二种则考虑信道的非理想特性。

• 最佳化的两个条件：
  • $H(\omega )$无码间串扰，频域条件${\sum }_{i}H(w+\frac{2\pi i}{T_B})=C(常数)$。
  • 使系统输出差错概率最小。

9.9.1理想信道的最佳基带传输系统

​ 假设信道传输函数$C(f)=1$，则基带系统的传输特性变为
$$H(f)=G_T(f)\cdot G_R(f)$$
接收匹配滤波器的传输函数为
$$G_R(f)=G_T^{\ast }(f)e^{-j2\pi f{t}_0}$$
若没有对接收滤波器的相位进行要求，则
$$G_R(f)=G_T(f)=H^{1/2}(f)$$

• 关于误码率，设基带信号码元为M进制的多电平信号。d为相邻电平间隔的一半，则系统的误码率为

$$P_e=(1-\frac{1}{M})erfc(\frac{d}{\sqrt{2}\sigma })$$

平均码元能量为
$$E=\frac{d^2}{3}(M^2-1)$$

• 根据平均码元能量表达式求出d的表达式，带入到系统的误码率中，得到误码率的最终表达式为

$$P_e=(1-\frac{1}{M}erfc[(\frac{3}{M^2-1}\cdot \frac{E}{n_0}{)}^{1/2}])$$

当M=2时，
$$P_e=\frac{1}{2}erfc(\sqrt{E/n_0})$$
与2PSK误码性能一样。

• 对于M进制多电平信号误码率，当误码率较低时，为保持误码率不变，M值增大到2倍，则信噪比约需要增大7dB。

*9.9.2非理想信道的最佳基带传输系统

​ 接收信号码元的频谱为$G_T(f)\cdot C(f)$,则匹配滤波器的传输函数要与接收信号码元的频谱匹配
$$G_R^{\prime }(f)=G_T^{\ast }(f)\cdot C^{\ast }(f)$$
这时基带传输系统的总传输特性为
$$H(f)=|G_T(f){|}^2|C(f){|}^2$$
该传输特性应满足消除码间串扰的等效理想低通滤波器条件。