三门问题（基于贝叶斯分析和python的实现）

三门问题

背景

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题，出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。游戏规则如下：

• 现在有三扇门，只有一扇门有汽车，其余两扇门的都是山羊。
• 汽车事前是等可能地被放置于三扇门的其中一扇后面。
• 参赛者在三扇门中挑选一扇。他在挑选前并不知道任意一扇门后面是什麽。
• 主持人知道每扇门后面有什么。
• 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
• 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人等可能地在另外两扇有山羊的门中挑一扇门。
• 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一扇门。

问题是：转换选择可以增加参赛者拿到汽车的机会吗？

这个问题的首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的 Calcul des probabilités 一书中。 在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand’s Box Paradox）,也有人把此叫做金盒问题，叙述如下：

现有三个箱子，每个箱子都有两个空档，中间用木板隔开。第一个箱子里面是两块金条，第二个箱子里面是两块银条，第三个箱子里面是一块金条和一块银条。随机抽取一个箱子，然后随机打开一个空档。如果里面是金条，那另外一个空档里是金条的概率是多少？

这是一个有趣的概率学问题，接下来本篇将用两种方法计算保持初始选择不变和改变初始选择下获得车子的概率

贝叶斯分析

针对这个题目，我们假设有A、B、C三个门，参赛者选择了A门，主持人打开了B门，然后要参赛者在A门和C门之间抉择换还是不换。现在我们分两种情况来求解得到汽车的概率：

1.保持选择（参赛者选择A门）
主持人打开门的这个动作对参赛者的选择没有造成任何影响，所以参赛者获得汽车🚗的概率是

$$P(A)=\frac{1}{3}$$

2.改变选择（参赛者选择C门）
在主持人打开了B门，参赛者改变了ta的选择选取了C门，求C门为汽车🚗的概率。
在此情况下，我们可以用贝叶斯公式来求解概率：
$$P(C车|打开B门）=\frac{P(C车）P(打开B门|C车）}{P(打开B门）}$$

• P(C车）:
  $$P(C车）=\frac{1}{3}$$
• P(打开B门|C车）：
  已知C门为车的条件下，主持人只能选择打开B门了，故打开B门的概率为1
• P(打开B门）：
  参赛者选择了A门，主持人打开了B门，$$P(打开B门）=\frac{2}{3}$$