【国科大算法设计与分析笔记】线性规划(待上传)

目录

总览

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1. 一些实际的问题
   1. 饮食问题
   2. 最大流问题
   3. 最小消耗流问题
   4. 多商品流问题
   5. SAT问题(可满足性问题)
2. 线性规划的形式
   1. 一般形式
   2. 标准形式
   3. 松弛形式
3. 线性规划的直观理解
4. 算法
   1. 单纯形算法
   2. 内点算法
5. 平滑复杂度：
   1. 为什么单纯形算法通常花费多项式时间？

Question 1: Why does it suffice to consider vertices of the polytope only?

Question 2: How to obtain a vertex of the polytope?

Question 3: How to implement “moving from a vertex to another vertex via an edge”?

An additional question: which edge is preferred when moving from a vertex?

Question 4: When should we stop?

Simplex algorithm

An example with unbounded objective value

The last question: how to get an initial feasible solution? or how to solve Ax = b, x ≥0?

InitializeSimplex: an example with no feasible solution

InitializeSimplex: an example with a feasible solution

How fast is the simplex method?

Unfortunately, simplex is not a polynomial-time algorithm

Smoothed Analysis of Algorithms: Why the Simplex Algorithm Usually Takes Polynomial Time?

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1. 内点法的简要历史
2. 内点法的基本思想

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1. 第一个例子
   1. 饮食问题的对偶问题
2. 理解对偶性：
   1. 拉格朗日函数
   2. 拉格朗日对偶函数
   3. 拉格朗日对偶问题
3. 最优解问题的条件
4. 线性规划对偶性的四个性质
5. 利用对偶性求解线性规划：
   1. 对偶单纯形算法
   2. 原始对偶算法
   3. 内点法
6. 对偶性的应用
   1. 法卡斯引理(Farkas Lemma)
   2. 冯诺依曼极小极大定理(Von Neumann’s MINIMAX theorem)
   3. 姚期智极小极大之定理(Yao’s MINIMAX theorem)
   4. 支持向量机中的对偶问题（Dual problem in SVM）
   5. 最短路径问题(SHORTESTPATH problem)
7. 附录
   1. 斯莱特定理的证明
   2. 寻找对偶问题初始解的技术