平衡二叉树

平衡二叉树：或者是一棵空的二叉排序树，或者是具有下列性质的二叉排序树：
⑴ 根结点的左子树和右子树的深度最多相差1;
⑵ 根结点的左子树和右子树也都是平衡二叉树。
平衡因子：结点的平衡因子是该结点的左子树的深度与右子树的深度之差。
最小不平衡子树：在平衡二叉树的构造过程中，以距离插入结点最近的、且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树。
基本思想：
在构造二叉排序树的过程中，每插入一个结点时，首先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，
若是，
则找出最小不平衡子树，
在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。
为恢复平衡并保持二叉排序树的特性，可首先将B改为C的左子，而C原来的左子改为B的右子；然后将A改为C的右子， C原来的右子改为A的左子
综上所述
在一个平衡二叉排序树上插入一个新结点S时，主要包括以下三步：
（1） 查找应插位置， 同时记录离插入位置最近的可能失衡结点A（A的平衡因子不等于0）。
（2） 插入新结点S， 并修改从A到S路径上各结点的平衡因子。
（3） 根据A、 B的平衡因子， 判断是否失衡以及失衡类型， 并做相应处理。
m阶B－树：
是满足下列特性的树：
(1) 树中每个结点至多有m棵子树；
(2) 若根结点不是终端结点，则至少有两棵子树；
(3) 除根结点外，其他非终端结点至少有m/2 棵子树；
(4)所有非终端结点都包含以下数据：
（n，A0，K1，A1，K2，…，Kn，An）
其中，n（m/2 1≤n≤m 1）为关键码的个数；
Ki（1≤i≤n）为关键码，且Ki＜Ki+1（1≤i≤n-1）；
Ai（0≤i≤n）为指向子树根结点的指针，且指针Ai所指子树中所有结点的关键码均小于Ki+1大于Ki。
(5)所有叶子结点都在同一层上，B树是高平衡的。
B树的插入
基本原理：
当一个节点中插入新的数据时，
会造成节点中数据个数大于(m-1)，
此时需要分裂节点，
将节点中第[m/2]+1个数据插入到当前节点的前驱中，
当前节点分裂为两个节点。

当最下层结点中的关键字数大于m/2 -1 时，可直接删除。
当最下层待删关键字所在结点中关键字数目为最低要求m/2 -1时，如果其左（右）兄弟中关键字数目大于m/2 -1，则可采用“父子换位法”。
当最下层待删结点及其左右兄弟中的关键字数目均为最低要求数目m/2 -1时，需要进行合并处理，合并过程与插入时的分裂过程“互逆”，合并一次， 分支数少一，可能出现 “连锁合并”， 当合并到根时， 各分支深度同时减1。

B树的结构定义
m阶B+树的结构定义如下：
(1)每个结点至多有m个子结点；
(2)每个结点(除根外)至少有ceiling(m/2)个子结点；
(3)根结点至少有两个子结点；
(4)有k个子结点的结点必有k个关键码。
m阶B＋树：
是满足下列特性的树：
⑴ 含有m个关键码，每一个关键码对应一棵子树。
⑵ 关键码Ki是它所对应的子树的根结点中的最大（或最小）关键码。
⑶ 所有终端结点中包含了全部关键码信息，以及指向关键码记录的指针。
⑷ 所有终端结点按关键码的大小链在一起，形成单链表，并设置头指针。