【算法】动态规划背包问题

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一、01背包问题

题目描述

有N件物品和一个容量是V的背包。每件物品只能使用一次。
第i件物品的体积是$v_i$，价值是$w_i$
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 $vi,wi$，用空格隔开，分别表示第 i件物品的体积和价值。

输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例
8

解题步骤

1 状态表示：确定问题的状态

状态表示$dp[i][j]$，表示考虑装前i个物品，当背包容量为j时，背包内所有物品总价值的最大值。
题目所求的背包价值最大值为$dp[N][V]$

2 状态计算

当第i个物品的体积$v_i$大于j时，背包装不下第i个物品。
$dp[i][j]=dp[i-1][j]$

当第i个物品的体积$v_i$小于等于j时，我们可以装第i个物品，也可以不装第i个物品。
若装第i个物品，该状态由装前i-1个物品的状态推广而来。当第i个物品装入背包时，背包容量减少v[i]，背包价值增加w[i]，所以状态方程为
$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i])$

3 初始化
当i=0时，无论背包容量为何值，背包内没有物品，总价值为0。

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int v[N];
int w[N];
int dp[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%d %d", &v[i], &w[i]);
        
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        {
        
            if(j - v[i] >= 0)
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
            else
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            printf("%d ", dp[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    cout << dp[n][m];
    
    return 0;
}

DP优化

观察二维的动态规划转移方程，我们可以发现两个关键点：

• $f[i][...]只依赖于f[i-1][...]：也就是说，当前第i层的状态只依赖于第i-1层的状态，而与更早的层（如i-2,i-3等）无关。这意味着我们不需要保存所有i的历史信息，只需要保存上一层的信息即可。$
• $f[i][j]依赖于f[i-1][j]和f[i-1][j-v[i]]：具体来说，f[i][j]依赖于上一层的j和j-v[i]位置的值。这两个位置都在当前j的左侧（即j-v[i]<=j）$。

基于以上两点，我们可以将二维数组优化为一维数组：

状态表示：用 f[j] 表示总体积不超过 j 时的最大价值。
状态计算：在更新 f[j] 时，我们需要的是上一层的 f[j] 和 f[j - v[i]] 的值。

为什么需要从后往前更新？

关键在于如何保证在更新 f[j] 时，f[j - v[i]] 仍然是上一层的值（即未被当前层的更新所覆盖）。

如果从前往后更新：假设我们正在处理第 i 个物品，j 从小到大遍历。当更新 f[j] 时，f[j - v[i]] 可能已经被当前层的更新覆盖（即已经用第 i 个物品的信息更新过），这样就会导致重复计算（即同一个物品被多次选取），这与01背包问题中每个物品只能选一次的条件矛盾。

而从后往前更新可以避免这个问题：

在j 从大到小遍历（从 V 到 v[i]）的过程中，在更新 f[j] 时，f[j - v[i]] 还没有被当前层的更新覆盖，仍然是上一层的值，因此可以正确反映“不选当前物品”和“选当前物品”的两种情况。

#include <iostream>
#include <algorithm>
 
using namespace std;
 
const int N = 1010;
 
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
 
int main()
{
    cin >> n >> m;
 
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
 
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
 
    cout << f[m] << endl;
 
    return 0;
}

---

二、分组背包问题

题目描述

有 N组物品和一个容量是 V的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。每件物品的体积是 $v_{ij}$，价值是 $w_{ij}$，其中 i 是组号，j是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N组数据：

每组数据第一行有一个整数 $S_i$，表示第 i 个物品组的物品数量；每组数据接下来有 $S_i$ 行，每行有两个整数 $v_{ij}$,$w_{ij}$，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；

输入样例
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例：
8

---

解题步骤

分组背包问题是01背包问题的扩展，其特点是：

• 物品被分为若干组，每组内有若干物品。
• 每组中只能选一个物品或不选（即每组最多选一个物品）。

1 状态表示：确定问题的状态

状态表示$dp[i][j]$，表示考虑装前i组物品且每组物品最多只装一个时，当背包容量为j时，背包内所有物品总价值的最大值。
题目所求的背包价值最大值为$dp[N][V]$

2 状态计算

对于第 i 组物品，我们有以下选择：

1. 不选该组的任何物品：状态直接从 dp[i-1][j] 转移而来。

2. 选该组的某个物品 k（假设该组有 S 个物品）：该物品的体积为 v[i][k]，价值为 w[i][k]。
   则状态转移方程：$$dp[i][j]=\max \left(dp[i-1][j],\underset{1\le k\le S}{\max }(dp[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k])\right)$$
   即，遍历该组的所有物品，找到能带来最大价值的那个物品。

3. 初始化
   当i=0时，无论背包容量为何值，背包内没有物品，总价值为0。

DP优化

方法原理与01背包相同，不在赘述

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int v[N][N], w[N][N];
int s[N];

int n, m;

int f[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        scanf("%d", &s[i]);
        for(int j = 1; j <= s[i]; j ++)
            scanf("%d%d", &v[i][j], &w[i][j]);
    }


    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = m; j >= 0; j --) 
        {
            for(int k = 1; k <= s[i]; k ++)
                if(j - v[i][k] >= 0)f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
        }
    }

    printf("%d", f[m]);

    return 0;
}

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三、完全背包问题

题目描述

有N件物品和一个容量是V的背包。每种物品都有无限件可用。
第i件物品的体积是$v_i$，价值是$w_i$
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 $vi,wi$，用空格隔开，分别表示第 i件物品的体积和价值。

输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10