背包问题——动态规划算法求解

1.问题描述

有 N 件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。

第 i件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

首先，动态规划的基本理念就是将大问题分解为性质相同的小问题，对每个小问题求的解记录下来，避免重复求解。其次，我们读题确定用动态规划求解后，可以列出递归方程，利用方程可以递推出最优解。

对于01背包问题，只有两种可能性：装/不装，

设f[i][j] i表示前i个物品，j表示当前容量 v[i]表示第i个物品的体积

对于装/不装 如果都满足限制条件，即可以同时出现，我们需要比较这两种情况的累计价值谁更大。

例：背包总容积V为5，以下是四件物品的体积和各自价值

---

	体积vi	价值wi
物品1	1	2
物品2	2	4
物品3	3	4
物品4	4	5

（行表示背包从0~V的体积变化，列表示第几个物品的序号，数组值表示前i件物品可以产生的最大价值）

	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	2	2	2	2	2
2	0	2	4	6	6	6
3	0	2	4	6	6	8
4	0	2	4	6	6	8

• 如果装入第i个物品，则前i个物品的体积不能超过背包体积，体积改变，价值改变

即f[i][j]=f[i-1][j-v[i]]+w[i]；

• 如果不装，则重量不变，价值不变

即f[i][j]=f[i-1][j]；

代码如下所示

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>

using namespace std;

int f[1011][2011];
int N,V;
int v[1011],w[2011];
int main(){
    cin>>N >>V;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        cin>>v[i] >>w[i];
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=1;j<=V;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(v[i]<=j)//第i个装入
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
                
        }
    }
    cout<<f[N][V]<<endl;
    return 0;
}

2.代码优化

其实可以用一维数组来表示最优值，即将数组压缩

代码改动并不大，我们来看两个for循环中的语句：

for(int i=1;i<=N;i++){

for(int j=1;j<=V;j++){

f[i][j]=f[i-1][j];

if(v[i]<=j)//第i个装入

f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);

}

}

先看第一个对i进行循环的for语句，它的作用是将数据处理能遍历到每一行，有N个物品就有N行，所以我们只要保证第一个for循环存在，就知道这是到了第几行，因此f[i][j]可以直接写为f[j];

再来看对第二个for循环的处理，它是对每一列的遍历，强制去掉二维后f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);

此时出现了问题，f[j-v[i]]是在第i行、第j-v[i]列的状态，但是我们需要的是第i-1行、第j-v[i]列的状态。

j按找从1~V变化显然不正确，会重复算第i行前面已经求出的解，因此我们使j逆序变化，

即for(j=V;j>=v[i];j--){

f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);

}

完整利用一维数组的代码为

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>

using namespace std;

int f[1011];
int N,V;
int v[1011],w[1011];
int main(){
    cin>>N >>V;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        cin>>v[i] >>w[i];
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=V;j>=v[i];j--)
                f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
            
    }
    cout<<f[V]<<endl;
    return 0;
}

至此，01背包——动态规划求解结束。