“深入浅出数学建模”之主成分分析

最新推荐文章于 2025-03-20 17:23:01 发布

屁屁乐帅

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分类专栏：数学建模文章标签：算法数学建模机器学习

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_45480703/article/details/119811596

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本文详细介绍了主成分分析（PCA）的基本思想、数学原理及其在降维中的应用。PCA通过线性变换找到新的特征，使它们尽可能独立且最大化数据方差。在体育综合能力的例子中，PCA用于简化多个评价指标。文章还提供了MATLAB代码示例，展示了PCA的实现步骤，并提及如何选择主成分。最后，讨论了PCA在综合评价中的拓展应用。

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主成分分析（PCA）

好多小伙伴在学习数学建模的时候会遇到这么一个算法—主成分分析，顾名思义，是用来分析主要成分的。简单点说，就是对评价指标集进行分析，得到新的若干个成分，来代替原始的评价指标（听不懂没关系！继续往下看，保证可以听得懂！）。

它是一种普遍的降维算法，在机器学习、生物分析等各个领域都有着广泛的应用。接下来，跟着我的思路，带你掌握这个算法，并学会如何去应用！

1 例题引入

大家设想一下这个例子，为了衡量一个人的体育综合能力，我们设有如下评价指标集{BMI（身高体重），肺活量，400米跑成绩，800米跑成绩，跳高，跳远}。接着我们分析问题的时候，觉得这些指标太多了（似乎并不多，但是假设你觉得多），对我们分析问题比较麻烦，这个时候我需要对指标进行处理，这个时候我就进行主成分分析。很多同学对这有个误解，认为主成分分析出来的是从原来指标集中直接挑出来的，绝对不是这样！大家请看下图：

在这个图中，左边是我们刚刚设定的变量，这里我用1-6来表示，右边是我们求出来的主成分（PC），为什么会有6个主成分呢？实际上我们用matlab软件求出来的就是多少个指标对应着多少个主成分。有人会问，不是说好的降维吗，为啥还是六个主成分呢？别急，我们先保留这个问题。

大家还需要注意的一点就是，每一个主成分和原来的指标都是存在一个线性关系的，我这里图中只画出来PC1，其他的PC也是这样的，也就说，我们可以把PC1用下面公式表示：
$P{C_1} = a{X_1} + b{X_2} + ... + f{X_6}$
什么意思呢？也就是说，每一个主成分都和原来的变量有关系，并不是说主成分就是从原来变量中直接挑出来的，但是他是有一定意义的。比如说，假设这个主成分PC1在X2,X3,X4(对应着肺活量，400米跑，800米跑)前面的系数比较大且为正值，那我们可以分析得到这个主成分主要侧重于人的耐力方面（肺活量，400米，800米这三个指标本身就体现了一个人的耐力）；同理如果某个主成分PC2，在X5,X6,对着的前面系数比较大，说明我们分析得到的这个主成分是衡量人的爆发力方面。但是注意，并不是每一个主成分都可以分析出它们的意义。