【数理统计】04. 其他常用分布与分布族

最新推荐文章于 2024-04-07 20:41:07 发布

这个XD很懒

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分类专栏：【数理统计】学习笔记

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本文深入探讨了数理统计中的其他常用分布与分布族，包括B分布、Fisher Z分布族和指数型分布族。详细介绍了B分布的B函数、定义和性质，以及与均匀分布次序统计量的关系；Fisher Z分布族的定义、性质及与其他分布的关系；指数型分布族的定义、例子和关键性质。这些内容对理解统计分布及其应用至关重要。

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文章目录

Chapter 4：其他常用分布与分布族

Chapter 4：其他常用分布与分布族

一、 $\Beta$ 分布

Part 1： $\Beta$ 函数

类似于上一节中我们学习 $\Gamma$ 分布的过程，在介绍 $\Beta$ 分布之前，我们先来回顾一下在数学分析中学过的 $\Beta$ 函数。首先给出 $\Beta$ 分布的定义：
$\Beta(P,Q)=\int_0^1x^{P-1}(1-x)^{Q-1}{\rm d}x \ .$
其中 $\Beta(P,Q)$ 的定义域为 $P>0,\,Q>0$ ，原因是在此定义域范围内，反常积分收敛。利用 $\Beta$ 函数的定义式，可以得到 $\Beta$ 函数具有很好的性质，以及实用的递推公式，特别需要注意的是 $\Gamma$ 函数和 $\Beta$ 函数之间的关系。

连续性： $\Beta$ 函数在定义域 $P>0,\,Q>0$ 内连续。
对称性： $\Beta(P,Q)=\Beta(Q,P)$ 。
递推公式：

$\begin{aligned} &\Beta(P,Q)=\frac{Q-1}{P+Q-1}\Beta(P,Q-1) \ , \quad P>0,\,Q>1 \ . \\ &\Beta(P,Q)=\frac{P-1}{P+Q-1}\Beta(P-1,Q) \ , \quad P>1,\,Q>0 \ . \\ &\Beta(P,Q)=\frac{(P-1)(Q-1)}{(P+Q-1)(P+Q-2)}\Beta(P-1,Q-1) \ , \quad P>1,\,Q>1 \ . \\ \end{aligned}$

与 $\Gamma$ 函数的关系：对于任意的正实数 $P, Q$ ，有关系表达式： $\Beta(P,Q)=\dfrac{\Gamma(P)\Gamma(Q)}{\Gamma(P+Q)}$ 。

利用与 $\Gamma$ 函数的关系，当 $P$ 和 $Q$ 趋近于无穷时，我们有
$\Beta(P,Q)\sim\frac{\sqrt{2\pi}P^{P-\frac12}Q^{Q-\frac12}}{(P+Q)^{P+Q-\frac12}} \ .$
所以当 $P$ 和 $Q$ 充分大时，我们也可以用 Stirling 公式来近似计算 $\Beta$ 函数值。

Part 2： $\Beta$ 分布的定义和性质

具有下列密度函数的分布称为 $\Beta$ 分布：
$p(x;a,b)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1} \ , \quad 0<x<1 \ .$
其中 $a>0,\,b>0$ 称为形状参数。

上述密度函数的定义式是用 $\Gamma$ 函数来表示的，如果利用 $\Beta$ 函数与 $\Gamma$ 函数的关系，可以将 $\Beta$ 分布的密度函数写为：
$p(x;a,b)=\frac{1}{\Beta(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1} \ , \quad 0<x<1 \ .$
为了便于区分，我们常用 ${\rm Be}(a,b)$ 或 $\beta(a,b)$ 来表示 $\Beta$ 分布。接下来，我们不会像 $\Gamma$ 分布那样对 $\Beta$ 分布的各种性质进行展开介绍和计算推导，这里我们介绍几条常用的性质。

$\Beta$ 分布的 $k$ 阶矩：
$\begin{aligned} {\rm E}\left(X^k\right)=\int_0^1\frac{1}{\Beta(a,b)}x^{a-1+k}(1-x)^{b-1}{\rm d}x =\frac{\Beta(a+k,b)}{\Beta(a,b)}=\frac{\Gamma(a+k)\Gamma(a+b)}{\Gamma(a+k+b)\Gamma(a)} \ . \end{aligned}$
$\Beta$ 分布的均值和方差：
$\begin{aligned} &{\rm E}(X)=\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(a+b)}{\Gamma(a+1+b)\Gamma(a)}=\frac{a}{a+b} \ , \quad {\rm E}\left(X^2\right)=\frac{\Gamma(a+2)\Gamma(a+b)}{\Gamma(a+2+b)\Gamma(a)}=\frac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)} \ , \\ \\ &{\rm Var}(X)={\rm E}\left(X^2\right)-[{\rm E}(X)]^2=\frac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)}-\left(\frac{a}{a+b}\right)^2=\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)} \ . \end{aligned}$
特别地，当 $a = b = 1$ 时， $\Beta(1,1)$ 即为区间 $[0, 1]$ 上的均匀分布 $U (0, 1)$ 。