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Codeforces Round #752 (Div. 2)A. Era题意：给出一个数组aaa，一种操作：每次能够在任意位置插入一个数，问最小的插入次数使∀i∈[1,n]\forall i \in[1,n]∀i∈[1,n]，都满足ai≤ia_i\le iai​≤i思路：我们能够在最前面插入1，使每个数的下标都加1，如果i≤a[i]i\le a[i]i≤a[i]，只要让最小i−a[i]i-a[i]i−a[i]变成0的操作数就是答案。#include <bits/stdc++.h>

J Prime Game题意：给出一个序列，mul(l,r)=∏i=lraimul(l,r)=\prod\limits_{i=l}^ra_imul(l,r)=i=l∏r​ai​，fac(l,r)fac(l,r)fac(l,r)表示mul(l,r)mul(l,r)mul(l,r)的中不同的质数的个数。问：∑i=1n∑j=infac(i,j)\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i}^nfac(i,j)i=1∑n​j=i∑n​fac(i,j)思路：统计在序列中出现过的质

Codeforces_Round#746(Div.2)A.Gamer_Hemose题意：思路：代码：B.Hemose_Shopping题意：思路：代码：C.Bakry_and_Partitioning题意：思路：代码：Codeforces_Round#746(Div.2)A.Gamer_Hemose题意：一个 BossBossBoss 的血量为mmm，有nnn把武器，每次能够使用一把武器，每把武器不能连续使用，问最少要几次才能杀掉BossBossBoss思路：选两个伤害最大的武器，交替使用。.

Rinne Loves Sequence推式子∑i=1n∑j=i+1n[gcd(ai,aj)=1]∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)=1]×cnti×cntj−∑i=1n[gcd(i,i)=1]∑d=1nμ(d)∑i=1n∑j=1ncnti×cntj∑d=1nμ(d)∑i=1nd∑j=1ndcntid×cntjd\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n[gcd(a_i, a_j)=1]\\\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=1]\times cnt_

P2513 [HAOI2009]逆序对数列题意：给出一个长度为nnn的排列，问有多少种排列方式的逆序对为k。思路：dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]表示长度为i的排列，逆序对为jjj的方案数。对于一个长度为iii的排列，将i+1i+1i+1插入到排列中有i+1i+1i+1种插入方法，最多能够多出iii个逆序对，所以可以得到转移方程dp[i][j]=∑k=0min(i−1,i(i−1)2)dp[i−1][j−k]dp[i][j]=\sum_{k=0}^{min(i-1, \fra

P1681 最大正方形II题意给出一个n×mn\times mn×m的010101矩阵，问最大的01交错的正方形大小是多少。思路：dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]表示以(i,j)(i,j)(i,j)这个位置为右下角的最大的矩形的大小。考虑如何转移。当(i,j)(i,j)(i,j)和(i−1,j),(i,j−1)(i-1,j),(i,j-1)(i−1,j),(i,j−1)不相同时，(i,j)(i,j)(i,j)这个点才能向上左扩展。否则dp[i][j]=1dp[i][j]=1

EOJ Monthly 2021.9 Sponsored by TuSimpleA.Amazing.Discovery题意：思路：解法1：解法2：EOJ Monthly 2021.9 Sponsored by TuSimpleA.Amazing.Discovery题意：给出a，b，na，b，na，b，n，求S=(a+b)n+(a−b)n(mod p)S=(a+\sqrt b)^n+(a-\sqrt b)^n(mod~p)S=(a+b​)n+(a−b​)n(mod p)思.

P2359 三素数数题意：如果一个数的所有连续三位数字都是大于100100100的素数，则该数称为三素数数。比如113797113797113797是一个666位的三素数数。给出一个nnn，问有多少长度为n的三素数数，对1e9+91e9+91e9+9取模。思路：dp[i][j][k]dp[i][j][k]dp[i][j][k]表示长度为iii的，倒数第二位是jjj，最后一位是kkk的方案数。这样我们dp[i][j][k]dp[i][j][k]dp[i][j][k]怎么从dp[i−1][k][

P2401 不等数列题意：给出一个长度为nnn的排列，每种排列方式在两个数之间都能产生一个大于号小于号，问有k个小于号的排列方式有多少个思路：现在是长度问n−1n-1n−1的一个排列，我们把n插入到这个排列中就成了一个长度问n的排列。如果我们把nnn放在序列的最前面，就会多一个大于号。如果我们把nnn放在序列的最后面，就会多一个小于号。如果我们放在小于号的中间，我们就能减掉一个小于号，然后再加上一个大于号和一个小于号，也就是加上一个大于号如果我么放在大于号的中间，我们就能减掉一个小于号

P1622释放囚犯题意：思路：CodeCodeCodeP1622释放囚犯题意：p个牢房，q个要释放的人，两个监狱能够通信当且仅当两个监狱之间都有人，当释放某个监狱的人时，和他能够通信的监狱必须要吃肉，问要按什么样的顺序释放才能让所有人吃上的肉最少思路：区间dp，反过来思考，释放人，我们考虑先把要放的人全部清空，然后再抓进去（可以想到，最优情况的顺序下，正向和反向的答案相同）这样一来，我们每次抓进去一个人，就合并两个区间，且加上区间人数。dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]表示把第.

E. e-Government题意：给出一些m个模式串和n个操作，操作分为3种：‘?’+字符串：查询字符串中 在模式串集合中的字符串 出现了多少次。‘+’+数字：将第几个模式串添加回模式串集合‘-’+数字：将第几个模式串从模式串集合中删除。思路：考虑暴力的做法：先对所有模式串建trie树，bfs找fail数组，用一个boo数组来表示某个字符串是否在模式串集合中。对于一个查询，字符串在trie树上跳fail，当跳到还在模式串集合中的节点时，答案++，输出答案。树状数组维护差分数组做法：

P3966 [TJOI2013]单词题意：给出n个字符串，问各个字符串在所有字符串中出现的次数思路：对于一个字符串来说，我们对它在trie树上的路径节点++，表示当前节点一共出现多少次。再建一棵fail树，对于fail树的一个子树来说，子树权值等于根节点所表示的字符串出现的次数。所以我们就可以dfs去统计每个子树的权值和，在输出每个字符串对应节点的权值，就是答案。#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define int lon

[H - Integers Have Friends 2.0](https://vjudge.net/problem/HDU-7073)题意：思路：H - Integers Have Friends 2.0题意：给出一个数组aaa，找到一个最长的子序列bbb，存在m(m>1)m(m>1)m(m>1)使bi mod m=bj mod mb_i~mod~m=b_j~mod~mbi​ mod m=bj​ mod&nbs.

[P2414 [NOI2011] 阿狸的打字机](https://www.luogu.com.cn/problem/P2414)题意：思路：解释一些地方代码P2414 [NOI2011] 阿狸的打字机题意：在一串长字符串中，可以构建出多个字符串，n组询问，问第x个字符串在第y个字符串中出现的次数。思路：先把每个字符串插入到trie树上（注意插入的方法）再对每个询问按照y进行归类，相同的y则放到同一个数组中，方便得到答案。再求出每个节点的fail，建出一棵fail树，用dfs找出fail树的d.

Product of GCDs问题：求给定的多重集合的 所有长度为k的子集 的gcdgcdgcd的 乘积。mx=max{multiple_set}ans=∏i=1mxikiki表示在集合中的长度为k且gcd为i的子集的个数。先求出i的倍数个数num，再求出(numk),有因为其中包含gcd为2i的集合，所以要减到这些集合产生的贡献。(容斥一下)\begin{aligned}mx&=max\{multiple\_set\}\\ans&=\prod_{i=1}^{mx}i^{k_i}\

题意：给出一个长度为 n 的序列 a，q次询问 ∏i=lrlcm⁡(ai,x)\prod\limits_{i=l}^r \operatorname{lcm}(a_i,x)i=l∏r​lcm(ai​,x) 的值。答案对 109+710 ^ 9 + 7109+7取模。思路：∏i=lrlcm(ai,x)=∏i=lraixgcd(ai,x)=∏i=lraix∏i=lrgcd(ai,x)\begin{aligned}&\prod_{{i=l}}^rlcm(a_i,x)\\=&\prod.

P3768简单的数学题解法一：推式子部分杜教筛部分：解法二：推式子部分杜教筛部分：P3768简单的数学题解法一：推式子部分∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j)∑i=1ni∑j=1nj∑d∣i,d∣jd[gcd(i,j)=d]∑d=1nd3sumi=1ndi∑j=1ndj[gcd(i,j)=1]∑d=1nd3∑i=1ndi∑j=1ndj∑x∣gcd(i,j)μ(x)∑d=1nd3∑x=1ndx2μ(x)∑i=1ndxi∑j=1ndxj∑d=1nd3∑x=1ndx2μ(x)(⌊ndx⌋(1+⌊nd.

C. Need for Pink Slips问题：一个游戏，给出C,M,PC,M,PC,M,P三个事件，每个事件的概率是c，m，pc，m，pc，m，p，当出现事件PPP的时候，游戏结束。在每一轮游戏过程中c，m，pc，m，pc，m，p都会根据规则发生变化。问游戏进行多少轮的期望。规则：给定一个小数vvv。(c,m,p)=(0.2,0.1,0.7)(c,m,p)=(0.2,0.1,0.7)(c,m,p)=(0.2,0.1,0.7)， v=0.1v=0.1v=0.1， 在发生事件C后，因为c>v

E. Number Challenge​问题：∑i=1a∑j=1b∑k=1cd(ijk)\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^cd(ijk)∑i=1a​∑j=1b​∑k=1c​d(ijk)，d(n)d(n)d(n)表示n的因子个数。推式子：∑i=1a∑j=1b∑k=1cd(ijk)∑i=1a∑j=1b∑k=1c∑x∣i∑y∣j∑z∣k[gcd(x,y)=1][gcd(y,z)=1][gcd(x,z)=1]∑x=1a∑y=1b∑z=1c∑i=1a∑j=1b∑k=1c∑x∣

Happy_2004题意：思路（详细解释在扩展）：CodeCodeCode：扩展（因子和，积性函数）nnn的全部因子之和是：积性函数σ\sigmaσHappy_2004题意：求2004k2004^k2004k的全部因子的和，对292929取模思路（详细解释在扩展）：积性函数，等比数列求和CodeCodeCode：#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 1e3+.

原根定义:原根判定定理原根的个数原根的存在定理题目：原根定义:设m∈N∗m\in\mathbb{N^*}m∈N∗,a∈Za\in\mathbb{Z}a∈Z.若(a,m)=1(a,m)=1(a,m)=1,且δm(a)=ϕ(m)\delta_m(a)=\phi(m)δm​(a)=ϕ(m),则称aaa为模mmm的原根（注：a，ma，ma，m互质）.原根判定定理若ggg是模mmm的一个原根,则对于ϕ(m)\phi(m)ϕ(m)的任何大于111且不为自身的因数ppp,都有gϕ(m)p≡1(mod&nbsp.

F. Lunar New Year and a Recursive Sequence题意：给出f1=f2=⋯=fk−1=1f_1=f_2=\cdots=f_{k-1}=1f1​=f2​=⋯=fk−1​=1和b1,b2⋯bkb_1,b_2\cdots b_kb1​,b2​⋯bk​，还有递推方程fi=fi−1b1fi−2b2⋯fi−kbkf_i=f_{i-1}^{b_1}f_{i-2}^{b_2}\cdots f_{i-k}^{b_k}\\fi​=fi−1b1​​fi−2b2​​⋯fi−kbk​​问

A. Approach题意：给出444个点，A，B，C，DA，B，C，DA，B，C，D，两个人a,ba,ba,b，a从AAA到BBB，b从CCC到DDD，他们两个速度相同，问他们相距最近的距离大小（注：当某一个人到达终点时，他会停留在终点，而另一个人仍然会继续前进）思路：猜测：距离的他们两点的距离是一个关于时间的凹函数，然后就是三分去查找。注意细节：当一个人已经到达终点时，可以肯定当前距离函数仍然是一个凹函数或者一个单调递增的函数，所以我们要再用一次三分，来找到当前段的最小值，再和上一段进行比较。

D.Dice题意：思路：Code：D.Dice题意：给定nnn个色子，每个色子有kkk个面，每个面都有一个数字，数字模mmm为000的面出现的概率为000，剩下的面出现的的概率相等，每个面在模mmm下，只有mmm中情况，我们可以算出一个色子的mmm个概率。思路：设aia_iai​表示111个色子丢出的面模mmm是iii的概率。设bib_ibi​表示111个色子丢出的面模mmm是iii的概率。则：{b0=a0∗a0+a1∗am−1+a2∗am−2...am−1∗a1b1=a0∗a1+a1∗a.

D. Cut and Stick题意：给出一个长度为n的序列，m个询问。对于每个询问，我们要将询问序列按要求划分成多个序列，使每个序列都满足条划分序列的方法：从序列中选取子序列来组成新的区间条件：设序列长度为lenlenlen， 序列中每种元素的个数不能超过⌈lend⌉\lceil\frac {len}d\rceil⌈dlen​⌉。思路：我们设在序列中的出现次数最多的是xxx次，如果⌈lend⌉≤x\lceil\frac {len}d\rceil\le x⌈dlen​⌉≤x。最优的解法就是2∗x

Codeforces_Round_#716(Div.2)A.Perfectly_ImperfectArrayB.AND_0,Sum_BigC.Product_1_Modulo_NCodeforces_Round_#716(Div.2)A.Perfectly_ImperfectArray题意：给出一个序列，问是否存在一个子序列连乘不是完全平方数。思路：如果在序列中存在一个非完全平方数，那么一定存在子序列连乘不是完全平方数。我们就可以对序列的每个数质因子分解，看每个质因子的次数是不是偶数，如果存在不.

D. Fox And Jumping题意：在一个无限长的纸条上，给出n个卡片，每个卡片都有有两个属性l，c。我们可以花费c得到这个卡片，就能够用这张卡片来向左或者向右移动l的距离，问最小的代价使可以到达枝条上的全部点。思路：我们可以把纸条想象成坐标轴，起始位置为0，这样我们花费cic_ici​得到卡片iii，就相当于能够写作0+∑i=1kxi×li(k未知，xi为一个常数)0+\sum_{i=1}^kx_i\times l_i(k未知，x_i为一个常数)0+∑i=1k​xi​×li​(k未知，xi​为一

三分查找P3382 【模板】三分法思路：根据二分的思路，我们要逼近中间的值，就要确定是leftleftleft还是rightrightright向中间趋近。所以我们设置两个中间值lmlmlm，rmrmrm，分别为leftleftleft和rightrightright的下一步趋近值。这样我们比较一下lmlmlm，rmrmrm的多项式值，确定下一步的leftleftleft和rightrightright，重复，直到退出循环找到答案。凸函数#include<bits/stdc++.h>

Count a * b题意：有ttt组输入，每组输入入一个数n(n≤109)n(n\leq 10^9)n(n≤109)，求g(n)=∑m∣nf(m)g(n) = \sum_{m|n}f(m)g(n)=∑m∣n​f(m)，f(m)=∑i=0m−1∑j=0m−1[i×j%m≠0]f(m)=\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{m-1}[i\times j \%m \neq 0]f(m)=∑i=0m−1​∑j=0m−1​[i×j%m​=0]。推式子：f(m)=∑i=0m−1∑j=0m−1

C. Array Destruction题意：给出一个数列，有2n2n2n个数，问是否存在一个xxx，使ai+aj=x(i!=j)a_i+a_j=x(i!=j)ai​+aj​=x(i!=j)。我们再将x=max(ai,aj)x=max(a_i,a_j)x=max(ai​,aj​)，之后重复前一个操作，每个数只能用一次，问是否存在一个数xxx，使全部的数都被选到，如果存在输出选择顺序。思路：最大值肯定是第一个被选的值之一，（简单证明：如果第一次选的是第二大的值，那最大的值就一定选不上了。)然后，我们再枚举

反素数定义对于正整数x，其约数的个数记作g(x)g(x)g(x)。例如 g(1)=1g(1)=1g(1)=1、g(6)=4g(6)=4g(6)=4。如果某个正整数xxx满足：对任意正整数i(0<i<x)i(0<i<x)i(0<i<x),有g(x)>g(i)g(x)>g(i)g(x)>g(i)，那么 称xxx为反素数。感性理解，素数是只有1和本身两个约数，而反素数就是约数个数最多的数（并且在约数相同的情况下更小的那个数），所以反素数是对

Laptop题意：n个物品，每个物品两个属性ai,bia_i,b_iai​,bi​，问有多少个物品j，满足∃\exists∃物品i (i≠j)i~(i\neq j)i (i​=j)使ai≥aj,bi≥bja_i\geq a_j, b_i\geq b_jai​≥aj​,bi​≥bj​思路：先对其中一个属性a进行从大到小排序，再枚举每一个物品，设定一个最大值mxmxmx用来存放枚举过程中bbb的最大值，如果当前物品的bbb小于mxmxmx，ans++。简单证明：在枚举过程中，ai≥a

Goffi and GCD题意：因为gcd(n−i,n)，gcd(n−j,n)gcd(n-i,n)，gcd(n-j,n)gcd(n−i,n)，gcd(n−j,n)都是n的因子（且不为n）所以乘起来不会超过n2n^2n2所以等价于求推式子∑i=1n∑j=1n[gcd(n−i,n)gcd(n−j,n)=n]∑i=1n∑j=1n∑x∣n∑y∣n[xy=n][gcd(n−i,n)=x][gcd(n−j,n)=y]∑x∣n∑y∣n[xy=n]∑i=1n[gcd(i,n)=x]∑j=1n[gcd(j,n)=

P2303 [SDOI2012] Longge 的问题题意：求推式子∑i=1ngcd(i,n)∑d∣nd∑i=1n[gcd(i,n)=d]∑d∣nd∑i=1nd[gcd(i,nd)=1]∑d∣ndϕ(nd)\sum_{i=1}^ngcd(i,n)\\\sum_{d|n}d\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=d]\\\sum_{d|n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})=1]\\\sum_{d|n}d\phi(\frac{n}{d})\

SP5971 LCMSUM - LCM Sum题意：求推式子∑i=1nlcm(i,n)∑i=1ningcd(i,n)n∑i=1nigcd(i,n)n∑d∣n∑i=1nid[gcd(i,n)=d]n∑d∣n∑i=1ndi[gcd(i,nd)=1]n∑d∣n(ϕ(d)+[d=1])×d2\sum_{i=1}^nlcm(i,n)\\\sum_{i=1}^n\frac {in}{gcd(i,n)}\\n\sum_{i = 1} ^{n} \frac{i}{gcd(i, n)}\\n\sum_{d \mi

[SDOI2008]仪仗队题意：设左下方是坐标(0,0)(0,0)(0,0)，求(0,0)0,0)0,0)处能够看到的人数。每个人对应一个坐标(x,y)(x,y)(x,y)，只要gcd(x,y)=1gcd(x, y)=1gcd(x,y)=1就被(0,0)(0,0)(0,0)能看到（令gcd(0,1)=1gcd(0,1)=1gcd(0,1)=1,和ϕ(1)=1对应\phi(1)=1对应ϕ(1)=1对应）。欧拉函数思路：我们只看其中的一半x，另一半和它对称，然后就得到式子x=∑x=1n∑y=1x[gc

模题意：给定四个正整数a,b,c,ka,b,c,ka,b,c,k，回答是否存在一个正整数nnn，使得a∗na*na∗n在kkk进制表示下的各位的数值之和模bbb为ccc。先给出一个结论：一个数十进制数xxx化成kkk进制数yyy，那yyy的各个位数加的和sumsumsum起来一定是x+(1−k)∗tx+(1-k)*tx+(1−k)∗t简单证明：x<kx < kx<k，那y=xy = xy=x假设x>=kx >= kx>=k1.x=k，y=(10)k，sum

那么原问题变成了求 X1 的值使得上述求和最小，上述求和可以看作是求点到直线的距离。先将 S 数组从小到大排序。如果 n 为奇数，那么 X1=Sn/2+1如果 n 为偶数，那么 X1∈[Sn/2,Sn/2+1]可以发现，不论 n 为奇数还是偶数，X1 都可以取到S 数组中的某个值使得求和最小，因此存在某个 Xi=X1−Si=0，即有两个人之间没有纸牌传递，因此这种解法实际上证明了环形均分纸牌问题的可链化。

P1031 均分纸牌题意：有nnn堆纸牌，第iii堆纸牌有AiA_iAi​张。一次操作中，第一堆只可以给第二堆任意张，第nnn堆只可以给第n−1n-1n−1堆任意张，其他堆iii，可以给第i−1i-1i−1或者i+1i+1i+1堆任意张。问最少的操作次数使每堆纸牌数量都相同。思路:第一堆只能由第二堆给出或得到，使第一堆等于平均值aveaveave。我们可以假设第一堆不等于aveaveave，那么第二堆要通过一次操作使第一堆等于平均值。操作之后A2A_2A2​可能是正值，也可能是负值。在这里负值只

P1269 信号放大器题意：给出一个树形结构，1号为根节点，每个节点都能接收和发射信号。每条边有一个消耗，若到达某个节点时信号值为负，则可以在它的父节点处放置一个信号放大器，使它的父节点发出的信号值等于根节点发出的信号值。问如果可以使所有节点都接收到信号，需要的最少的信号放大器。否则输出""思路：先FaFaFa数组存下各个子节点到nownownow节点的距离，再遍历到根节点，再往上找以nownownow节点为子树的深度，用disdisdis数组存起来，。返回到nownownow节点时，如果dis[no