Stoer-Wagner 算法

最新推荐文章于 2020-10-19 12:56:45 发布

zhongyuwei20031224

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本文详细介绍了Stoer-Wagner算法，一种用于求解无向图全局最小割的有效方法。通过逐步缩点和求最小割的过程，该算法能够在多项式时间内找到任意两点间最小割的最小值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题

求一个任意的无向图的全局最小割。即，定义 $λ(x,y)\lambda(x,y)$ 表示 $x, y$ 两点之间的最小割，给出一张任意的无向图，你需要求出 $min⁡x≠yλ(x,y)\min_{x\neq y}\lambda(x,y)$ 。

Stoer-Wagner 算法

约定

用 $w (x, y)$ 表示 $x, y$ 之间的边权。用 $c (X, Y)$ 表示 $∑x∈X,y∈Yw(x,y)\sum_{x\in X,y\in Y} w(x,y)$ ，其中 $X, Y$ 是图中点集的两个子集。

定义contract(x,y)表示将 $x, y$ 两个点缩起来，具体来说就是新建一个点 $u$ ，对于任意 $v≠x,v≠yv\neq x,v\neq y$ ，令 $w (u, v) = w (v, x) + w (v, y)$ ，然后将 $x, y$ 从原图中删去。

算法过程

如果两个点在全局最小割的异侧，那么它们之间的最小割就是全局最小割；否则，将它们缩起来对全局最小割没有影响。

Stoer-Wagner算法的过程是：每一次求出两个点的最小割，然后把它们缩起来。整个算法过程中求出过的最小割的最小值就是全局最小割。

但是这样还是要求 $n - 1$ 次最小割。

优化：MinimumCutPhase

我们并不是需要求某两个点之间的最小割，只要我们求出的是某两个点之间的最小割就可以了。

MinimumCutPhase可以在 $O(n^2)$ 的时间内求出某两个点之间的最小割，以下是它的过程：

首先随便选择一个点 $a$ ，令 $A=\{a\}$ 。
然后选择一个点不在 $A$ 中的点 $x$ ，使得 $c(A,\{x\})$ 最大，然后将 $x$ 加入 $A$ 。
重复2.直到 $A$ 以外只剩下一个点。则我们最后加入 $A$ 的那个点和剩下的那个点（设为 $z$ ）之间的最小割就是 $c(A,\{z\})$ 。

正确性：实际上可以证明，假设加入 $A$ 的点依次为 $v1=a,v2⋯vn−1v_1=a,v_2\cdots v_{n-1}$ ，令最后剩下的那个点为 $v_n$ ，那么对于任意的 $i≥2i\ge 2$ ，在只考虑 $v1,v2⋯viv_1,v_2\cdots v_i$ 以及它们之间的边的时候， $v_i$ 和 $v_{i-1}$ 之间的最小割是 $c({v1,v2,⋯vi−1},{vi})c(\{v_1,v_2,\cdots v_{i-1}\},\{v_i\})$ 。

由于 $v_i,v_{i-1}$ 的任意一个割都会删掉 $v_i,v_{i-1})$ 这条边，所以 $λ(vi,vi−1)\lambda(v_i,v_{i-1})$ 等于将 $v_i,v_{i-1})$ 删掉之后求得的最小割 $λ′(vi,vi−1)\lambda'(v_i,v_{i-1})$ 加上 $w(v_i,v_{i-1})$ 。所以接下来只考虑将 $v_i,v_{i-1})$ 删掉后的图。

首先证明在只考虑 $v1,v2,⋯viv_1,v_2,\cdots v_i$ 以及它们之间的边的时候， $c({v1,v2,⋯vi−1},{vi})≤λ(vi−1,vi−2)c(\{v_1,v_2,\cdots v_{i-1}\},\{v_i\})\le \lambda(v_{i-1},v_{i-2})$ 。用归纳法。对于 $i = 2$ 显然成立。对于 $i > 2$ ：

将 $v_i$ 以及与 $v_i$ 相邻的所有边从图中删掉，此时 $v_{i-1}$ 和 $v_{i-2}$ 的最小割是 $({v1,v2,⋯vi−2},{vi−1})(\{v_1,v_2,\cdots v_{i-2}\},\{v_{i-1}\})$ （归纳假设）。
由MinimumCutPhase的过程可以知道
$c(\{v_1,v_2\cdots v_{i-2}\},\{v_i\}) \le c(\{v_1,v_2,\cdots v_{i-2} \},\{v_{i-1}\}) \tag{1}$
由于 $v_i$ 和 $v_{i-1}$ 之间没有边，所以
$c(\{v_1,v_2,\cdots v_{i-2}\},\{v_{i-1}\}) = c( \{v_1,v_2,\cdots v_{i-2},v_i\},\{v_{i-1}\})\\ c(\{v_1,v_2\cdots v_{i-2}\},\{v_i\})= c(\{v_1,v_2\cdots v_{i-2},v_{i-1}\},\{v_i\})$
将上面的两个式子带入(1)，可以得到
$c(\{v_1,v_2\cdots v_{i-2},v_{i-1}\},\{v_i\}) \le c(\{v_1,v_2,\cdots v_{i-2},v_i \},\{v_{i-1}\})$
由于 $c({v1,v2,⋯vi−2,vi},{vi−1})c(\{v_1,v_2,\cdots v_{i-2},v_i \},\{v_{i-1}\})$ 等于加入 $v_i$ 这个点之前图中的 $v_{i-1},v_{i-2}$ 的最小割，并且在加入 $v_i$ 之后两个点的最小割不可能变得比加入之前更小，所以 $c({v1,v2,⋯vi−2,vi},{vi−1})=λ(vi−1,vi−2)c(\{v_1,v_2,\cdots v_{i-2},v_i \},\{v_{i-1}\})=\lambda(v_{i-1},v_{i-2})$ 。所以我们得到了
$c(\{v_1,v_2\cdots v_{i-2},v_{i-1}\},\{v_i\}) \le \lambda(v_{i-1},v_{i-2})$

然后我们将证明，只考虑 $v1,v2,⋯viv_1,v_2,\cdots v_i$ 以及它们之间的边的时候， $c({v1,v2,⋯vi−1},{vi})≤λ(vi,vi−2)c(\{v_1,v_2,\cdots v_{i-1}\},\{v_i\})\le \lambda(v_{i},v_{i-2})$ 。用归纳法。对于 $i = 2$ 显然成立。对于 $i > 2$ ：

删去 $v_{i-1}$ 以及原图中与它相邻的边。对得到的图重新进行MinimumCutPhase，最后加入 $A$ 的点是 $v_{i-2}$ ，剩下的点是 $v_i$ 。
此时 $v_i,v_{i-2}$ 之间的最小割是 $c({v1,v2,⋯vi−2},{vi})c(\{v_1,v_2,\cdots v_{i-2}\},\{v_i\})$ 。
把 $v_{i-1}$ 加回去之后的图中，得到 $λ(vi,vi−2)=c({v1,v2,⋯vi−2,vi−1,vi})\lambda(v_i,v_{i-2}) = c(\{v_1,v_2,\cdots v_{i-2},v_{i-1},v_i\})$ 。

综合以上两个结论：

$c(\{v_1,v_2,\cdots v_{i-2},v_{i-1}\},\{v_i\})=\lambda(v_i,v_{i-2})\\ c(\{v_1,v_2\cdots v_{i-2},v_{i-1}\},\{v_i\}) \le \lambda(v_{i-1},v_{i-2}) \\ \Longrightarrow c(\{v_1,v_2,\cdots v_{i-1}\},\{v_i\})\le \min\{\lambda(v_i,v_{i-1}),\lambda(v_{i-1},v_{i-2}\}$