【数理统计】随机变量X和Y独立一定不相关，不相关不一定独立

假设(X,Y) 均匀分布在单位元 $x^2+y^2=1$上：

X和Y的（线性）相关系数是0。为什么呢？直观来说，因为是个圆，如果你画一条线性回归的线，线的斜率是正的还是负的都不合适，因为是对称的。数学上
因为
E(X|Y) = E(Y|X) = 0
所以
E(X) = E(Y) = 0
而且
E(XY) = E[E(XY|X)] = E[X E(Y|X) ] = 0
所以
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0
但是X,Y 不是独立的，因为Y的取值对于X的取值分布是影响的。不相关就是两者没有线性关系，但是不排除其它关系存在，独立就是互不相干没有关联。