随机变量不相关却不一定独立

原文：https://www.zhihu.com/question/26583332/answer/33330386
(X,Y) 均匀分布在单位元 x^2 + y^2 = 1上

<img src="https://pic1.zhimg.com/50/1226d3f907b09cd1aed77e09ea5d0496_hd.jpg" data-rawwidth="200" data-rawheight="204" class="content_image" width="200">X和Y的（线性）相关系数是0。（为什么呢？直观来说，因为是个圆，如果你画一条线性回归的线，线的斜率是正的还是负的都不合适，因为是对称的。数学上）
因为
E(X|Y) = E(Y|X) = 0
所以
E(X) = E(Y) = 0，而且
E(XY) = E[E(XY|X)] = E[X E(Y|X) ] = 0
所以
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0

但是X,Y 不是独立的，因为Y的取值对于X的取值分布是影响的