本文通过实例说明，两个服从正态分布且线性不相关的随机变量X和Y，即使它们的协方差为0，也不一定独立。通过构造X和一个Rademacher分布的随机变量W的乘积Y，证明了Y也服从正态分布，而X与Y的关系满足∣X∣=∣Y∣，从而表明它们并不独立。
素材主要来自英文维基百科词条Normally distributed and uncorrelated does not imply independent
我们直接举个例子吧。假设 X X X服从正态分布， W W W是一个Rademacher distribution的随机变量，其取值在集合 { 1 , − 1 } \{1,-1\} {
1,−1}中，且概率均为1/2。令 Y = W X Y=WX Y=WX。关于 Y Y Y的分布，我们有
F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P ( X ≤ y ∣ W = 1 ) P ( W = 1 ) + P ( X ≥ − y ∣ W = − 1 ) P ( W = − 1 ) = 1 2 [ F X ( y ) + 1 − F X ( − y ) ] \begin{aligned} F_Y(y) &= P(Y\leq y) \\ &= P(X\leq y|W=1)P(W=1) + P(X\geq -y|W=-1)P(W=-1) \\ &= \frac{1}{2}[ F_X(y) + 1-F_X(-y)] \end{aligned} FY(y)=P(Y≤
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