不相关的正态分布随机变量也不一定就独立

最新推荐文章于 2025-06-03 20:27:29 发布
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分类专栏： 概率统计类
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qiongyu0422/article/details/83716661
本文通过实例说明，两个服从正态分布且线性不相关的随机变量X和Y，即使它们的协方差为0，也不一定独立。通过构造X和一个Rademacher分布的随机变量W的乘积Y，证明了Y也服从正态分布，而X与Y的关系满足∣X∣=∣Y∣，从而表明它们并不独立。

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素材主要来自英文维基百科词条Normally distributed and uncorrelated does not imply independent
我们直接举个例子吧。假设 X X X服从正态分布， W W W是一个Rademacher distribution的随机变量，其取值在集合 { 1 , − 1 } \{1,-1\} { 1,−1}中，且概率均为1/2。令 Y = W X Y=WX Y=WX。关于 Y Y Y的分布，我们有
F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P ( X ≤ y ∣ W = 1 ) P ( W = 1 ) + P ( X ≥ − y ∣ W = − 1 ) P ( W = − 1 ) = 1 2 [ F X ( y ) + 1 − F X ( − y ) ] \begin{aligned} F_Y(y) &= P(Y\leq y) \\ &= P(X\leq y|W=1)P(W=1) + P(X\geq -y|W=-1)P(W=-1) \\ &= \frac{1}{2}[ F_X(y) + 1-F_X(-y)] \end{aligned} FY​(y)​=P(Y≤

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两个正态随机向量不相关就意味着这两个随机向量独立？
qq_44081205的博客
04-24 9264
看到标题，如果你的答案是“是”，那么请看官您耐着性子把这篇博文读完，希望在您看完之后，能对这个问题有一个新的认识。 随机向量 我们说随机向量X=[X1,X2,⋯ ,Xn]′{\bf X}=[X_1,X_2,\cdots,X_n]^{\prime}X=[X1​,X2​,⋯,Xn​]′，它其实是一个由n个随机变量组成的列向量。 其中，这个随机向量的每个元素都是一个随机变量，都有一个自己的分布，即所谓边...
随机变量不相关却不一定独立
RandyLeonard的专栏
03-08 1万+
原文：https://www.zhihu.com/question/26583332/answer/33330386(X,Y) 均匀分布在单位元 x^2 + y^2 = 1上<img src="https://pic1.zhimg.com/50/1226d3f907b09cd1aed77e09ea5d0496_hd.jpg" dat...
不独立 ≠ 不相关 (Independent ≠ Uncorrelated)
迷雾总会解
11-21 1万+
独立一定不相关，不相关不一定独立
机器学习——主成分分析（PCA）
2301_80841566的博客
06-03 2320
成功地将高维数据投影到二维空间，并通过可视化展示了数据的分布情况通过PCA重建的图像在保留主要特征的同时实现了数据压缩较高的解释方差比表明选择的主成分能够有效地捕捉数据的主要变化这些结果表明PCA是一种有效的降维和特征提取方法，可以用于图像处理和模式识别等领域。然而，需要注意的是，尽管PCA能够保留数据的主要特征，但在某些情况下可能会丢失一些细节信息，因此在实际应用中需要根据具体需求权衡降维的效果和信息损失Xx_%7Bi%7Du_%7Bi%7Dx_%7Bi%7DX%5Csumn%5Csumd。
浙大概率第四版，证明正态分布随机变量不相关等价于独立
u013238941的专栏
04-23 2万+
证明命题： ∀满足正态分布的随机变量X，Y，有X，Y不相关⇔X,Y独立\forall 满足正态分布的随机变量X，Y，有X，Y不相关\Leftrightarrow X,Y独立∀满足正态分布的随机变量X，Y，有X，Y不相关⇔X,Y独立 如果X,YX,YX,Y独立，则必有X,YX,YX,Y不相关 因为X,YX,YX,Y独立，那么有E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E...
概率论与数理统计学习笔记——第三十三讲——不相关与独立
预见未来to50的专栏
10-31 9768
1. 不相关（零相关）的定义 2. 相互独立必不相关；不相关，不一定相互独立 3.不相关，不一定相互独立的示例 4. 二元正态分布变量的相互独立等价于不相关 ...
独立与不相关
qq_42578970的博客
05-24 9093
正态分布时独立一定不相关，不相关一定独立。 一般情况下，独立一定不相关，不相关不一定独立。 独立和不相关从字面上看都有“两个东西没关系”的意思.但两者是有区别的.相关性描述的是两个变量是否有线性关系,独立性描述的是两个变量是否有关系。 不相关表示两个变量没有线性关系,但还可以有其他关系,也就是不一定相互独立。 而相互独立，就是完全互不影响，A的结果对B没有影响或干扰 此外E(XY)=E(X)E(Y)的充要条件就是X和Y不相关 ...
概率中的独立和不相关
sunfoot001的专栏
07-12 4663
定义上，独立可以推导出不相关，但不相关不能推导出独立。 这里的不相关指的是线性不相关，具体定义如下： E{h1(y1)h2(y2)}  = E{h1(y1)}E{h2(y2)}. 其中h1和h2都是线性变换。 线性不相关但也不独立的反例有： x~N（0,1） y= -1, 1 分布，概率各,0.5, x与x*y不相关但显然不独立。
正态分布随机数生成算法.doc
05-11
根据中心极限定理，大量相互独立的随机变量之和趋近于正态分布，这为生成正态分布随机数提供了理论基础。 在编程实践中，常见的方法包括使用分布函数的反函数、利用中心极限定理、以及使用Box-Muller方法。分布函数...
概率统计3.3 随机变量的独立性-综合文档
05-22
这是因为多元正态分布的性质告诉我们，两个相互独立的正态分布随机变量的联合分布也是一个正态分布，且其相关系数为零。 在具体实例中，比如抛两次硬币的情况，如果两次取球是有放回的，则每次取球的结果是相互独立...
Rayleigh_瑞利分布_随机变量_中心极限_
09-29
即使原始的随机变量不是正态分布，当样本足够大时，样本均值的分布也会接近正态分布。在本项目中，通过中心极限定理，我们可以生成符合瑞利分布的大量随机数，模拟实际场景中的无线信号衰落。 **C语言实现** `...
正交-不相关-独立
zywvvd的博客
03-27 7062
本文介绍随机变量中正交、不相关、独立的区别和联系。 概述 三者均是描述随机变量之间关系的概念，看似都可以表示两个随机变量的疏远关系，但定义和约束均有不同。 考察mmm维随机变量X,YX,YX,Y之间的关系。 定义 正交 定义R(X,Y)=E[XY]R(X, Y) = E[XY]R(X,Y)=E[XY]为相关函数：若R(X,Y)=0R(X, Y)=0R(X,Y)=0，称X,YX,YX,Y正交 不相关 定义 E[XY]=E[X]E[Y]E[XY] = E[X]E[Y]E[XY]=E[X]E[Y.
【两个正态分布随机变量】独立与相关的关系
lucius-liu.cn
08-27 7021
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3-24 浅谈多元正态分布的基本性质
weixin_45366589的博客
03-24 3370
多变量正态分布亦称为多变量高斯分布。它是单维正态向多维的推广。它同矩阵正态分布有紧密的联系。 三个比较重要的性质： 一，设为p维随机向量，则X服从p元正态分布的充要条件是：对任一p维实向量a ,是一维正态随机变量。 （简单好用的定理，举反例证明的线性组合不服从正态分布，就可证明X不服从p元正态分布） 二，设为p维随机向量 ，则X服从p元正态分布的充要条件是：存在一个p元标准正态分布，向量以及一个m*n矩阵A，满足 (这是根据定义给出的性质，X由相互独立的标准随机向量的线性组合所构成） 三，由特.
变量独立与不相关的区别
Bing's Blog
10-22 2万+
在数学期望的性质里有一个性质:随机变量X和Y相互独立，有：E(XY) = E(X)E(Y).事实上这里成立的充要条件是X和Y不相关即可。那么问，相互独立与不相关的关系是什么呢？独立性是指两个变量的发生概率一点关系没有，而相关性通常是指线性关系。如果两个变量不相关，指的是线性关系里不相关，但是不能说它们么有关系，可能是线性以外的其他关系。
概率论中的独立和不相关的区别
qq_45126579的博客
05-28 5万+
首先，变量间的关系主要有互不相容、对立、独立和互不相关。 独立：有两随机事件 A、B 。 A、B 发生的概率分别为 P(A) 和 P(B) ， AB 事件同时发生的概率为 P(AB) 若 P(A)×P(B)=P(AB) ，则 A 与 B 相互独立。事件 A 发生的概率不影响事件 B 发生的概率，反应的是概率运算上的关系。 不相关：不相关随机变量是指两个变量的相关系数为0的变量，是相互间没有线性关系的变量。 1.不相关是指的两个变量之间没有线性关系，并不一定没有其他关系。而独立指的是两个随机变量之间什么关系都
独立和不相关的区别
热门推荐
wyl1813240346的博客
01-30 10万+
独立一定不相关，不相关不一定独立（高斯过程里二者等价） 。 对于均值为零的高斯随机变量，“独立”和“不相关”等价的。 假设X为一个随机过程，则在t1和t2时刻的随机变量的相关定义如下（两个随机过程一样）： （1）定义Kx（t1，t2）=E{[X（t1）-Mx(t1)][X(t2)-Mx(t2)]}为协方差函数，若K=0，即相关系数为0，则称之为不相关；不相关只是说二者没有线形关系，但并不代表没有任
各态历经过程
qiongyu0422的专栏
11-04 4273
时间平均值与时间自相关函数 对于一个函数，用A[⋅]A[\cdot]A[⋅]来表示其平均值，比方说对信号s(t)s(t)s(t)，其时间平均值为 A[s(t)]=lim⁡T→∞12T∫−TTs(t)dtA[s(t)] = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^T s(t) dtA[s(t)]=T→∞lim​2T1​∫−TT​s(t)dt ...
独立正态分布是什么
最新发布
06-05
### 独立正态分布的定义与特性 独立正态分布是指两个或多个随机变量各自服从正态分布，并且它们之间相互独立。以下是对独立正态分布的定义和特性的详细说明： #### 定义 独立正态分布指的是多个随机变量 \( X_1, X_2, \ldots, X_n \)，其中每个随机变量都服从正态分布，即 \( X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2) \)，并且这些随机变量之间没有任何依赖关系。换句话说，一个随机变量的取值不会对另一个随机变量的取值产生影响[^1]。 #### 特性 1. **均值和方差的线性组合** 如果 \( X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2) \) 和 \( X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) \) 是两个独立的正态分布随机变量，则它们的线性组合 \( aX_1 + bX_2 \) 仍然服从正态分布，其均值为 \( a\mu_1 + b\mu_2 \)，方差为 \( a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2 \)[^2]。 2. **加法性** 如果两个独立的正态分布随机变量相加，则结果仍然是正态分布。例如，若 \( X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2) \) 和 \( X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) \)，则 \( X_1 + X_2 \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2) \)[^2]。 3. **概率密度函数（PDF）** 每个独立正态分布随机变量的概率密度函数可以表示为： \[ f(x \mid \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \] 当多个随机变量独立时，它们的联合概率密度函数是各个随机变量概率密度函数的乘积[^3]。 4. **中心极限定理的应用** 根据中心极限定理，当样本量足够大时，许多独立随机变量的和趋向于正态分布，即使这些变量本身并不服从正态分布。这一性质在统计推断中具有重要意义。 5. **无相关性等价于独立性** 对于正态分布随机变量，如果它们不相关（即协方差为零），则它们一定是独立的。这是正态分布的一个特殊性质[^1]。 ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import norm # 定义两个独立正态分布 mu1, sigma1 = 0, 1 # 第一个正态分布的均值和标准差 mu2, sigma2 = 2, 0.5 # 第二个正态分布的均值和标准差 x = np.linspace(-4, 6, 1000) pdf1 = norm.pdf(x, mu1, sigma1) pdf2 = norm.pdf(x, mu2, sigma2) # 绘制概率密度函数 plt.plot(x, pdf1, label=f'N({mu1}, {sigma1}^2)') plt.plot(x, pdf2, label=f'N({mu2}, {sigma2}^2)') plt.legend() plt.title("Independent Normal Distributions") plt.xlabel("x") plt.ylabel("Probability Density") plt.show() ```
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