LeetCode 刷题 [C++] 第367题. 有效的完全平方数 (等差数列、二分法、牛顿迭代法)

题目描述

给定一个正整数 num，编写一个函数，如果 num 是一个完全平方数，则返回 True，否则返回 False。
说明：不要使用任何内置的库函数，如 sqrt。

示例 1：
输入：16
输出：True

示例 2：
输入：14
输出：False

一、等差数列法
根据等差数列公式：1+3+5+…+(2n-1)=n^2
因此任意一个平方数可以表示成这样的奇数序列和。

具体代码实现如下：

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        if(num < 2) return true;
        int sub=1;
        while(num > 0) {
            num -= sub;
            sub += 2;
        }
        return num == 0;
    }
};

复杂度分析

1. 时间复杂度：O(sqrt(N))。
2. 空间复杂度：O(1)。

AC结果

二、 二分法
1.若 num < 2，返回 true。
2.设置左边界L为 2，右边界R为 num/2。
3.当 L <= R时：令 x = L + (R-L)/2 作为一个猜测，计算当前猜测值的平方tmp = x * x ，并与 num做比较：

• 如果 tmp > num， 设置左边界 L = x+1;
• 如果 tmp > num ，设置右边界 R = x-1;
• 否则 num 是一个完全平方数，返回 true。

4.如果在循环体内没有找到，则说明 num 不是完全平方数，返回 false。

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        if(num < 2) return true;
        long L=2,R=num/2,mid=0;
        while(L<=R) {
            mid = L + (R-L)/2;
            if(mid * mid > num) R = mid-1;
            else if(mid * mid < num) L = mid+1;
            else return true;
        }
        return false;
    }
};

复杂度分析

1. 时间复杂度：O(log⁡N)。
2. 空间复杂度：O(1)。

AC结果

三、牛顿迭代法
牛顿迭代法的思想是从一个初始近似值开始，进行一系列改进，进而逼近根的过程。
那么如何从初始近似值逼近根呢？下面给出粗略的推导公式：

解题步骤：
1.首先取num/2作为初始近似值。
2.当 x * x > num时，用牛顿迭代法取计算下一个近似值：x=(x+num/x)/2。
3.循环执行步骤2直至跳出循环，返回 x*x == num。

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        if(num < 2) return true;
        long tmp = num >> 1;
        while(tmp*tmp > num) 
            tmp = (tmp + num/tmp) >> 1;
        return tmp*tmp == num;
    }
};

复杂度分析

1. 时间复杂度：O(log⁡N)。
2. 空间复杂度：O(1)。

AC结果