数据结构（二）Trie、并查集、堆

最新推荐文章于 2024-03-26 08:00:00 发布

稻城亚丁

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分类专栏：算法基础文章标签：算法指针链表数据结构

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本文详细介绍了Trie（字典树）数据结构，用于存储和快速查找字符串集合。通过实例演示了如何实现字符串统计、合并集合和连通块查询。同时，文章提到了如何利用Trie优化路径压缩，以及在堆排序和模拟堆操作中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Trie：高效地存储和查找字符串集合的数据结构

例题：

Trie字符串统计

维护一个字符串集合，支持两种操作：

I x 向集合中插入一个字符串 x；
Q x 询问一个字符串在集合中出现了多少次。

共有 N 个操作，输入的字符串总长度不超过 105，字符串仅包含小写英文字母。

输入格式

第一行包含整数 N，表示操作数。

接下来 N 行，每行包含一个操作指令，指令为 I x 或 Q x 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q x，都要输出一个整数作为结果，表示 xx 在集合中出现的次数。

每个结果占一行。

数据范围

1≤N≤2∗104

输入样例：

5
I abc
Q abc
Q ab
I ab
Q ab

输出样例：

1
0
1

解题代码：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N =100010;

int son[N][26],cnt[N],idx;//26表示每个节点可以外面连26个边，cnt表示以当前这个点结尾的单词有多少个，idx当前用到的哪个下标
                        //下标是0的点，既是根节点有，又是空节点
char str[N];
//插入操作
void insert(char str[])
{
     //从根节点开始，从前往后遍历字符串
    int p = 0;
    for(int i = 0;str[i]; i++)
    {
        //找到当前节点对应的子节点编号,把a-z映射成0-25
        int u = str[i] - 'a';
        //如果不存在，就创建
        if(!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx;
        p= son[p][u];
    }
    //以这个为节点的单词数加1
    cnt[p] ++;
}

//查询操作
int query(char str[])
{
    int p = 0;
    for(int i = 0;str[i];i++)
    {
        int u = str[i] - 'a';
        if(!son[p][u]) return 0;//不存在子节点
        p= son[p][u];//走过去
    }
    
    return cnt[p];
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n --)//n个操作
    {
        char op[2];
        scanf("%s%s",op,str);//读入操作类型，读入字符串
        if(op[0] == 'I') insert(str);
        else printf("%d\n",query(str));
    }
    return 0;
}

并查集

优化：路径压缩

例题：

合并集合

一共有 n 个数，编号是 1∼n，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 m 个操作，操作共有两种：

M a b，将编号为 aa 和 bb 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
Q a b，询问编号为 aa 和 bb 的两个数是否在同一个集合中；

输入格式

第一行输入整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 a 和 b 在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

数据范围

1≤n,m≤105

输入样例：

输出样例：

Yes
No
Yes

解题代码：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n,m;
int p[N];

int find(int x)//返回x的祖宗节点+路径压缩
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);//没找到根节点就一直找
    return p[x];//返回父节点
    
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i <= n;i ++) p[i] = i;//先把所有的父节点变成自己
    
    while(m --)
    {
        char op[2];
        int a,b;
        scanf("%s%d%d",op,&a,&b);
        
        if(op[0] == 'M') p[find(a)] = find(b);//a的节点的父亲是b节点
        else
        {
            if(find(a) == find(b)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
    }
    return 0;
}

例题：

连通块中点的数量

给定一个包含 n 个点（编号为 1∼n）的无向图，初始时图中没有边。

现在要进行 m 个操作，操作共有三种：

C a b，在点 a 和点 b 之间连一条边，a 和 b 可能相等；
Q1 a b，询问点 a 和点 b 是否在同一个连通块中，a 和 b 可能相等；
Q2 a，询问点 a 所在连通块中点的数量；

输入格式

第一行输入整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 C a b，Q1 a b 或 Q2 a 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q1 a b，如果 a 和 b 在同一个连通块中，则输出 Yes，否则输出 No。

对于每个询问指令 Q2 a，输出一个整数表示点 a 所在连通块中点的数量

每个结果占一行。

数据范围

1≤n,m≤105

输入样例：

输出样例：

Yes
2
3

解题代码：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int p[N], cnt[N];

int find(int x)//返回x的祖宗节点+路径压缩
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);//没找到根节点就一直找
    return p[x];//返回父节点
}

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        p[i] = i;//先把所有的父节点变成自己
        cnt[i] = 1;
    }

    while (m -- )
    {
        string op;
        int a, b;
        cin >> op;

        if (op == "C")
        {
            cin >> a >> b;
            a = find(a), b = find(b);
            if (a != b)
            {
                p[a] = b;//a的节点的父亲是b节点
                cnt[b] += cnt[a];//最开始每个块只有一个节点
            }
        }
        else if (op == "Q1")
        {
            cin >> a >> b;
            if (find(a) == find(b)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
        else //询问某个点所在集合的数量
        {
            cin >> a;
            cout << cnt[find(a)] << endl;
        }
    }

    return 0;
}

堆

例题：

堆排序

输入一个长度为 nn 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

输出格式

共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。

数据范围

1≤m≤n≤105
1≤数列中元素≤109

输入样例：

5 3
4 5 1 3 2

输出样例：

1 2 3

解题代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N], cnt;

void down(int u)
{
    int t = u;
    if (u * 2 <= cnt && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if (u * 2 + 1 <= cnt && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if (u != t)
    {
        swap(h[u], h[t]);
        down(t);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &h[i]);
    cnt = n;

    for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);

    while (m -- )
    {
        printf("%d ", h[1]);
        h[1] = h[cnt -- ];
        down(1);
    }

    puts("");

    return 0;
}

模拟堆

维护一个集合，初始时集合为空，支持如下几种操作：

I x，插入一个数 x；
PM，输出当前集合中的最小值；
DM，删除当前集合中的最小值（数据保证此时的最小值唯一）；
D k，删除第 k 个插入的数；
C k x，修改第 k 个插入的数，将其变为 x；

现在要进行 N 次操作，对于所有第 2 个操作，输出当前集合的最小值。

输入格式

第一行包含整数 N。

接下来 N 行，每行包含一个操作指令，操作指令为 I x，PM，DM，D k 或 C k x 中的一种。

输出格式

对于每个输出指令 PM，输出一个结果，表示当前集合中的最小值。

每个结果占一行。

数据范围

1≤N≤105
−109≤x≤109
数据保证合法。

输入样例：

8
I -10
PM
I -10
D 1
C 2 8
I 6
PM
DM

输出样例：

-10
6

解题代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int h[N], ph[N], hp[N], cnt;//ph[k]：第k个要插入点是哪个点，堆的下标是什么
                            //hp[k]:堆里的某个点是要插入的第几个点

void heap_swap(int a, int b)
{
    swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
    swap(hp[a], hp[b]);
    swap(h[a], h[b]);
}

void down(int u)
{
    int t = u;
    if (u * 2 <= cnt && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if (u * 2 + 1 <= cnt && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if (u != t)
    {
        heap_swap(u, t);
        down(t);
    }
}

void up(int u)
{
    while (u / 2 && h[u] < h[u / 2])
    {
        heap_swap(u, u / 2);
        u >>= 1;
    }
}

int main()
{
    int n, m = 0;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        char op[5];
        int k, x;
        scanf("%s", op);
        if (!strcmp(op, "I"))//插入一个数
        {
            scanf("%d", &x);
            cnt ++ ;//堆里多个元素
            m ++ ;//当前第几个插入的数
            ph[m] = cnt, hp[cnt] = m;
            h[cnt] = x;
            up(cnt);
        }
        else if (!strcmp(op, "PM")) printf("%d\n", h[1]);//输出最小值
        else if (!strcmp(op, "DM"))//删除最小值
        {
            heap_swap(1, cnt);
            cnt -- ;
            down(1);
        }
        else if (!strcmp(op, "D"))//删除第k个插入的数
        {
            scanf("%d", &k);//读入第k个数
            k = ph[k];//找到k在堆里面的位置
            heap_swap(k, cnt);
            cnt -- ;
            //下面两个操作，最多执行一个
            up(k);
            down(k);
        }
        else //将第k个插入的数修改
        {
            scanf("%d%d", &k, &x);
            k = ph[k];//找到k在堆里面的位置
            h[k] = x;//直接修改
            up(k);
            down(k);
        }
    }

    return 0;
}