数学与简单DP

最新推荐文章于 2024-03-17 19:14:07 发布

稻城亚丁

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分类专栏：蓝桥杯文章标签：动态规划算法蓝桥杯数学 c++

原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Edviv/article/details/107350317

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4 篇文章

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数学问题

例题：买不到的数目

小明开了一家糖果店。

他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。

糖果不能拆包卖。

小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。

当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。

大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式

两个正整数 n,m，表示每种包装中糖的颗数。

输出格式

一个正整数，表示最大不能买到的糖数。

数据范围

2≤n,m≤1000，
保证数据一定有解。

输入样例：

4 7

输出样例：

解题思路

解题代码

暴搜

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

bool dfs(int m,int p,int q)
{
    if(!m) return true;
    
    if(m>=p&&dfs(m-p,p,q)) return true;
    if(m>=q&&dfs(m-q,p,q)) return true;
    return false;
}

int main()
{
    /***暴力求解***/
    int p,q;
    cin>>p>>q;
    int res =0;
    for(int i=1;i<=1000;i++)//枚举 
    {
        //找到最大不能被凑出来的数
        if(!dfs(i,p,q)) res=i;
        
    }
    cout <<res<<endl;
    
    return 0;
}

公式求解

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;


int main()
{
    int p,q;
    cin>>p>>q;
    cout<<(p-1)*(q-1)-1<<endl;
    
    return 0;
}

例题：蚂蚁感冒

长 100 厘米的细长直杆子上有 n 只蚂蚁。

它们的头有的朝左，有的朝右。

每只蚂蚁都只能沿着杆子向前爬，速度是 1 厘米/秒。

当两只蚂蚁碰面时，它们会同时掉头往相反的方向爬行。

这些蚂蚁中，有 1 只蚂蚁感冒了。

并且在和其它蚂蚁碰面时，会把感冒传染给碰到的蚂蚁。

请你计算，当所有蚂蚁都爬离杆子时，有多少只蚂蚁患上了感冒。

输入格式

第一行输入一个整数 n, 表示蚂蚁的总数。

接着的一行是 n 个用空格分开的整数 XiXi, 的绝对值表示蚂蚁离开杆子左边端点的距离。

正值表示头朝右，负值表示头朝左，数据中不会出现 0 值，也不会出现两只蚂蚁占用同一位置。

其中，第一个数据代表的蚂蚁感冒了。

输出格式

输出1个整数，表示最后感冒蚂蚁的数目。

数据范围

1<n<50
0<|Xi|<100

输入样例1：

3
5 -2 8

输出样例1：

输入样例2：

5
-10 8 -20 12 25

输出样例2：

解题思路

解题代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 55;

int n;
int x[N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> x[i];//把所有蚂蚁读进来

    int left = 0, right = 0;    // 分别表示左边向右走的蚂蚁数量，和右边向左走的蚂蚁数量
    for (int i = 1; i < n; i ++ )
        if (abs(x[i]) < abs(x[0]) && x[i] > 0) left ++ ;
        else if (abs(x[i]) > abs(x[0]) && x[i] < 0) right ++ ;

    if (x[0] > 0 && right == 0 || x[0] < 0 && left == 0) cout << 1 << endl;
    else cout << left + right + 1 << endl;

    return 0;
}

例题：饮料换购

乐羊羊饮料厂正在举办一次促销优惠活动。乐羊羊C型饮料，凭3个瓶盖可以再换一瓶C型饮料，并且可以一直循环下去(但不允许暂借或赊账)。

请你计算一下，如果小明不浪费瓶盖，尽量地参加活动，那么，对于他初始买入的 n 瓶饮料，最后他一共能喝到多少瓶饮料。

输入格式

输入一个整数 n,表示初始买入的饮料数量。

输出格式

输出一个整数，表示一共能够喝到的饮料数量。

数据范围

0<n<10000

输入样例：

输出样例：

解题思路

解题代码

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    int res = n;
    while (n >= 3)
    {
        res += n / 3;
        n = n / 3 + n % 3;
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

简单DP

例题：0-1背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

输出样例：

解题思路

解题代码

二维：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N =1010;

int n,m;//n：物品个数，m：物体容量
int v[N],w[N];//v：体积，w：价值
int f[N][N];//f：状态

int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    //f[0][0-m]:考虑0件物品，总体积不超过0,1,..m,这种情况下最大价值是
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
            

    
    cout<<f[n][m]<<endl;
    
    return 0;
}

一维：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N =1010;

int n,m;//n：物品个数，m：物体容量
int v[N],w[N];//v：体积，w：价值
int f[N];//f：状态

int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    //f[0][0-m]:考虑0件物品，总体积不超过0,1,..m,这种情况下最大价值是
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
            

    
    cout<<f[m]<<endl;
    
    return 0;
}

例题：摘花生

Hello Kitty想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。

她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图)，从西北角进去，东南角出来。

地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗，上面有若干颗花生，经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。

Hello Kitty只能向东或向南走，不能向西或向北走。

问Hello Kitty最多能够摘到多少颗花生。

输入格式

第一行是一个整数T，代表一共有多少组数据。

接下来是T组数据。

每组数据的第一行是两个整数，分别代表花生苗的行数R和列数 C。

每组数据的接下来R行数据，从北向南依次描述每行花生苗的情况。每行数据有C个整数，按从西向东的顺序描述了该行每株花生苗上的花生数目M。

输出格式

对每组输入数据，输出一行，内容为Hello Kitty能摘到得最多的花生颗数。

数据范围

1≤T≤100
1≤R,C≤100
0≤M≤1000

输入样例：

输出样例：

8
16

解题思路

解题代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int w[N][N];
int f[N][N];

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T -- )
    {
        cin >> n >> m;
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= m; j ++ )
                cin >> w[i][j];

        memset(f, 0, sizeof f);
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= m; j ++ )
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + w[i][j];

        cout << f[n][m] << endl;
    }

    return 0;
}

例题：最长上升子序列

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式

第一行包含整数 N。

第二行包含 N 个整数，表示完整序列。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

1≤N≤1000
−10^9≤数列中的数≤10^9

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

解题思路

解题代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int a[N], f[N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )//分别求每个fi的值
    {
        f[i] = 1; // 只有a[i]一个数
        for (int j = 1; j < i; j ++ )
            if (a[j] < a[i])
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, f[i]);//每个fi的最大值

    printf("%d\n", res);

    return 0;
}

习题训练

习题：地宫取宝

X 国王有一个地宫宝库，是 n×m个格子的矩阵，每个格子放一件宝贝，每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 k 件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。

输入格式

第一行 3 个整数，n,m,k，含义见题目描述。

接下来 n 行，每行有 m 个整数 Ci 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。

输出格式

输出一个整数，表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。

该数字可能很大，输出它对 1000000007取模的结果。

数据范围

1≤n,m≤50
1≤k≤12,
0≤Ci≤12

输入样例1：

2 2 2
1 2
2 1

输出样例1：

输入样例2：

2 3 2
1 2 3
2 1 5

输出样例2：

解题思路

解题代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 55, MOD = 1000000007;

int n, m, k;
int w[N][N];//每个位置的原始值
int f[N][N][13][14];//状态

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            cin >> w[i][j];
            w[i][j] ++ ;
        }

    f[1][1][1][w[1][1]] = 1;//选第一个数
    f[1][1][0][0] = 1;//不选

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )//循环所有状态
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            if (i == 1 && j == 1) continue;//表示第一个左上角的数
            for (int u = 0; u <= k; u ++ )
                for (int v = 0; v <= 13; v ++ )
                {
                    int &val = f[i][j][u][v];
                    val = (val + f[i - 1][j][u][v]) % MOD;
                    val = (val + f[i][j - 1][u][v]) % MOD;
                    if (u > 0 && v == w[i][j])
                    {
                        for (int c = 0; c < v; c ++ )
                        {
                            val = (val + f[i - 1][j][u - 1][c]) % MOD;
                            val = (val + f[i][j - 1][u - 1][c]) % MOD;
                        }
                    }
                }
        }

    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= 13; i ++ ) res = (res + f[n][m][k][i]) % MOD;

    cout << res << endl;

    return 0;
}

习题:波动数列

观察这个数列：

1 3 0 2 -1 1 -2 …

这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3，且每一项都为整数。

栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加 a 或者减少 b的整数数列可能有多少种呢？

输入格式

共一行，包含四个整数 n,s,a,b，含义如前面所述。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。

由于这个数很大，请输出方案数除以 100000007 的余数。

数据范围

1≤n≤1000,
−10^9≤s≤10^9
1≤a,b≤10^6

输入样例：

4 10 2 3

输出样例：

样例解释

两个满足条件的数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

解题思路

解题代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, MOD = 100000007;

int f[N][N];

int get_mod(int a, int b)   // 求a除以b的正余数
{
    return (a % b + b) % b;
}

int main()
{
    int n, s, a, b;
    cin >> n >> s >> a >> b;

    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
            f[i][j] = (f[i - 1][get_mod(j - a * (n - i), n)] + f[i - 1][get_mod(j + b * (n - i), n)]) % MOD;

    cout << f[n - 1][get_mod(s, n)] << endl;

    return 0;
}