P5662纪念品 洛谷题解

P5662纪念品 题解

前言

第一次发题解，多有瑕疵。
阅读题解之前务必熟悉题目

解题思路

考试刚看到题的时候，直觉便是动态规划，可硬是推了半天没推出来。（怪我太蒻了）

不过没关系，先把能写的写了…

int p[105][105];//存储每天每种纪念品的价格
int liRun[105];//存储每两天之间的利润（两天的价格差）

每件商品每天都有不一样的价格，而且每天可以进行无限次买卖，这很容易让人想到计算两天之间纪念品的差价（可获利润）。（like this）

 int t,n,m;cin>>t>>n>>m;//t天，n种纪念品，初始金币m个
 
 for (int i = 1;i <= t;i++)
  for (int j = 1;j <= n;j++)
   cin>>p[i][j];//读入每天的价格
   
 for (int i = 1;i <= t-1;i++)
  for (int j = 1;j <= n;j++)
   liRun[i][j] = p[i+1][j] - p[i][j];//单件纪念品的利润 

看出来了啥？ 背包呀！

为什么可以这么分析呢？

每种纪念品我们都可以转换为利润之间的关系，我们就可以把金币的总数看作是背包的大小，每种纪念品当天的价值看作重量，利润就是每种纪念品的价值。

我在思考的时候就提出了这样的疑问——假设一种商品要第一天买，第三天卖才可以获得最大利润，但是在第二天卖出又是第二天的最优解，该怎么办呢？
我们就不要考虑比较第利益的大小，因为我们是利用的是两天之间的这个过程，所以可以理解为第一天买进，第二天卖出再买进（这一步的实现来源于题目中给出每天每种物品可以买进卖出无限次，所以买来再卖掉，就可以理解为跳过了第二天，从而实现了最优解），然后再第三天再卖出。

所以这道题其实就是一个完全背包，当我们把纪念品当天的价格当作背包中物品的重量，把利润当作背包中的价值，如果我们用 f[v] 表示空间为v时的物品最大价值，那么我们可以得到：

f[v] = max(f[v],f[v - p[i][j] + liRun[i][j])

另一个需要注意的点是，背包的大小（手里的金币）是在不断增加的，所以每次求背包的最优解的时候，一定要排除价值为负数的纪念品（负利润），并且每隔一天刷新一下背包的大小（手里的金币），然后就可以得到我们的主程序了。

 for (int i = 1;i <= t-1;i++){//天数，利润的计算介于两天之间所以只用t-1天就好 
  for (int j = 1;j <= n;j++)//纪念品种数 
   if (liRun[i][j] > 0)//排除所有的负价值（负利润） 
    for (int v = p[i][j];v <= m;v++)
    //体积直接从 p[i][j]开始，反正之前的也放不下 ，一直遍历到当前手里的金币数量
     f[v] = max(f[v],f[v-p[i][j]] + liRun[i][j]);//完全背包求解 
  m += f[m];//更新手里的金币 
  memset(f,0,sizeof(f));//数组清0，开始第二轮背包 
 }

然后就AC了
最后给大家看一下完整的代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring> 
using namespace std;
int f[10005];// 背包
int p[105][105];//每天每种的价位
int liRun[105][105];//每两天之间的利润 
int main(){
 int t,n,m;cin>>t>>n>>m;//t天，n种纪念品，初始金币m个
 
 for (int i = 1;i <= t;i++)
  for (int j = 1;j <= n;j++)
   cin>>p[i][j];//读入每天的价格
   
 for (int i = 1;i <= t-1;i++)//天润的计算介于两天之间所以只用t-1天就好 
  for (int j = 1;j <= n;j++)
   liRun[i][j] = p[i+1][j] - p[i][j];//单件纪念品的利润 

 for (int i = 1;i <= t-1;i++){//天数，利润的计算介于两天之间所以只用t-1天就好 
  for (int j = 1;j <= n;j++)//纪念品种数 
   if (liRun[i][j] > 0)//排除所有的负价值（负利润） 
    for (int v = p[i][j];v <= m;v++)
     //体积直接从 p[i][j]开始，反正之前的也放不下 ，一直遍历到当前手里的金币数量
     f[v] = max(f[v],f[v-p[i][j]] + liRun[i][j]);//完全背包求解 
  m += f[m];//更新手里的金币 
  memset(f,0,sizeof(f));//数组清0，开始第二轮背包 
 }
 cout<<m;//输出 
 return 0;
}