一和零——动态规划

【题目描述】
给你一个二进制字符串数组strs和两个整数m和n。请你找出并返回strs的最大子集的长度，该子集中最多有m个0和n个1。若x的所有元素也是y的元素，集合x是集合y的子集。

【示例】

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

来源：力扣（LeetCode）
注：

	1 <= strs.length <= 600
	1 <= strs[i].length <= 100
	strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
	1 <= m, n <= 100

【问题分析】

• 可以把strs数组中的元素看作物品，且每个物品只能使用一次；
• m和n相当于是一个背包，只不过是两个维度；
• 本问题实质上还是01背包，但背包有两个维度，m和n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

【动态规划分析】

• （1）确定状态
  • f[i][j] ：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为f[i][j]；
• （2）转移方程
  • f[i][j]由前一个字符串里的字符串推导出来，strs里的字符串由zeroNum个0，oneNum个1，有两个来源可以推导
    • 当前字符串不符合要求，则f[i][j] = f[i][j]；
    • 当前字符串符合要求，则f[i][j] 可以由f[i-zeroNum][j-oneNum]推导出来，故f[i][j] = f[i-zeroNum][j-oneNum] + 1；加1是因为求的是字符串的个数。
  • 故 f[i][j] = max(f[i][j],f[i-zeroNum][j-oneNum] + 1)；
• （3）初始化
  • 因为物品价值不为负数，初始化为0,
• （4）计算顺序
  • 外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历

【C++实现】

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

int findMaxForm(vector<string>& strs,int m,int n){
    vector<vector<int>> f(m+1,vector<int> (n+1,0));
    for(string str : strs){   //遍历物品
        //计算每个字符串中‘0’‘1’的个数
        int oneNum = 0,zeroNum = 0;
        for(char c : str){
            if(c == '0') zeroNum++;
            else oneNum++;
        }
        cout << str << ":  zeroNum: " << zeroNum << "    oneNum: " << oneNum << endl;

        //遍历背包
        for(int i = m;i >= zeroNum;i--){
            for(int j = n;j >= oneNum;j--){
                f[i][j] = max(f[i][j],f[i-zeroNum][j-oneNum]+1);
            }
        }
    }
    return f[m][n];
}

int main(){
    vector<string> strs = {"10","0001","111001","1","0"};
    int m = 5,n = 3;

    cout << findMaxForm(strs,m,n) << endl;
    return 0;
}