CF1316D - Nash Matrix 构造

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本文解析了CF1316D-NashMatrix题目，探讨了在一个N*N的矩阵中，如何根据每个起点的终点坐标判断并构建矩阵。分析了三种点类型及其处理方式，包括障碍点、无限循环点和终点，并提供了详细的算法实现。

CF1316D - Nash Matrix

题意

$N * N$ 的矩阵中，有 $L, R, D, U, X$ 四种格子，分别代表，左移、右移、下移、上移、障碍点
对于任意一个出发点 $(i, j)$ ，会沿着格子的指示来移动，直到碰到障碍点
每一个点 $(i, j)$ 出发都会有对应的终点 $(x, y)$ ，如果是无线循环(一直走不会停)，那么 $x = - 1, y = - 1$
现在给你 $N * N$ 矩阵中所有点的终点，问你是否能构造出一个矩阵使得满足条件，如果能输出这个矩阵

题解

每一个点 $(i, j)$ 对应的 $(x, y)$ 有好多情况
① $(x, y) = (i, j)$
也就是出发就是终点，那么这个点是障碍点 $X$
② $(x, y) = (- 1, - 1)$
无限循环点，这种需要我们构造：
我选择的方法是找到一个相邻的点，两个点来回走就行，如 $R L$
这样我只构造 $(i, j)$ 的上边的点 $(i - 1, j)$ 和左边的点 $(i, j - 1)$
最后判一下是不是所有无限循环点都找到了就行
③剩余的情况，也就是会走到一个终点
想一下，显然一个路径中，如果有终点，那么路径里面所有的点他们的终点都是同一个，那么我们 $d f s$ 找点就行，可以反向进行，从终点出发，把所有终点相同的点连接起来就完事了

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define sz  sizeof
#define eps 1e-9
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int MAX = 1e3 + 10;

int N;
int to[4][2] = { 1, 0, -1, 0, 0, 1, 0, -1 };
pii a[MAX][MAX];
char g[MAX][MAX], dir[4] = { 'U', 'D', 'L', 'R'};
int vis[MAX][MAX];

void link(int x, int y) {//无限循环点，连上边和左边的点
    int u = x - 1, v = y;
    if (u >= 1 && a[u][v].first == -1) {
        if (g[u][v] == '.') g[u][v] = 'D';
        g[x][y] = 'U';
    }
    u = x, v = y - 1;
    if (v >= 1 && a[u][v].first == -1) {
        if (g[u][v] == '.') g[u][v] = 'R';
        if (g[x][y] == '.') g[x][y] = 'L';
    }
}

void dfs(int x, int y, int topx, int topy) {//从X出发找终点相同的点
    vis[x][y] = 1;
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        int u = x + to[i][0], v = y + to[i][1];
        if (u >= 1 && u <= N && v >= 1 && v <= N && !vis[u][v]
        && a[u][v].first == topx && a[u][v].second == topy) {
            g[u][v] = dir[i];//这里dir要反一下啊，因为我们是从X往回找的
            dfs(u, v, topx, topy);
        }
    }
}

bool judge() {//最后看一下是不是所有点都是LRDUX
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 1; j <= N; j++)
            if (g[i][j] == '.') return false;
    return true;
}

int main() {
    scanf("%d", &N);
    int invalid = 0;
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 1; j <= N; j++) {
            int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
            a[i][j] = make_pair(x, y);
            g[i][j] = i == x && j == y ? 'X' : '.';
        }
    //这部分我是判一下有终点的点，那个终点是不是X，如果不是X那就是有矛盾的
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 1; j <= N; j++) {
            int x = a[i][j].first, y = a[i][j].second;
            if (!(x == -1 && y == -1)) {
                invalid |= g[x][y] != 'X';
                g[x][y] = 'X';
            }
        }
    if (invalid) printf("INVALID\n");
    else {
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            for (int j = 1; j <= N; j++) {
                int x = a[i][j].first, y = a[i][j].second;
                if (x == -1 && y == -1) link(i, j);
                if (g[i][j] == 'X') dfs(i, j, i, j);
            }
        if (judge()) {
            printf("VALID\n");
            for (int i = 1; i <= N; i++) printf("%s\n", g[i] + 1);
        }
        else printf("INVALID\n");
    }

    return 0;
}