CF1311F - Moving Points 树状数组

本文详细解析了CF1311F-MovingPoints题目,通过分析点之间的相对运动状态,总结出求解所有点对最小距离之和的有效算法。关键在于识别点的运动关系,并利用树状数组进行高效计算。

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CF1311F - Moving Points

题意

N N N个点,全部都在 X X X轴上,每一个点有给出起始点 x i x_i xi和速度 v i v_i vi,如果现在过去时间为 t t t,那么这个点就在 x i + t v i x_i+tv_i xi+tvi,这里时间是无穷无尽的
现在有 d ( i , j ) d(i,j) d(i,j)表示点 i i i和点 j j j在所有时间内最小的距离
求所有点对的 d ( i , j ) d(i,j) d(i,j)之和,即 ∑ 1 ≤ i < j ≤ N d ( i , j ) \displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq N} d(i,j) 1i<jNd(i,j)

题解

这题没有很难,比较简单
因为时间是无穷无尽的,所以任意两个点 i , j i,j i,j的关系只有三种情况
x j < x i x_j<x_i xj<xi

①不断靠近,最后相交然后远离

显然,因为相交了, d ( i , j ) = 0 d(i,j)=0 d(i,j)=0

同向运动,后面的点速度快,即 v j > v i v_j>v_i vj>vi
反向运动,前面的点向右 v i < 0 v_i<0 vi<0,后面的点向左 v j > 0 v_j>0 vj>0,即 v j > v i v_j>v_i vj>vi
所以这两个都是 v j > v i v_j>v_i vj>vi

②不断远离

那么初始位置就是最小值,即 d ( i , j ) = x i − x j d(i,j)=x_i-x_j d(i,j)=xixj

同向运动,后面的慢,前面的快,即 v j < v i v_j<v_i vj<vi
反向运动,后面的点向左 v j < 0 v_j<0 vj<0,前面的点向右 v i > 0 v_i>0 vi>0,即 v j < v i v_j<v_i vj<vi
所以这两个都是 v j < v i v_j<v_i vj<vi

③距离保持不变

这种和②一样, d ( i , j ) = x i − x j d(i,j)=x_i-x_j d(i,j)=xixj
这个就是 v j = v i v_j=v_i vj=vi的情况

那么我们要求的 ∑ d ( i , j ) \sum d(i,j) d(i,j)里面,①是没有贡献的,只有②和③有贡献,还都是 d ( i , j ) = x i − x j d(i,j)=x_i-x_j d(i,j)=xixj
对于一个点 i i i,我们要找初始距离比他小的里面,速度小于等于他的点
那么我们先按初始距离 x i x_i xi排序,这样就是找前面的 v j ≤ v i v_j\leq v_i vjvi的点 j j j即可
那么就用树状数组维护两个值,一个是数量 c n t cnt cnt,一个是 x i x_i xi的和 s u m sum sum
这样当前点 i i i的贡献就是, c n t ∗ x i − s u m cnt*x_i-sum cntxisum
还有速度范围 − 1 0 8 ≤ v ≤ 1 0 8 -10^8\leq v \leq 10^8 108v108,所以离散化一下

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pll;
const int MAX = 2e5 + 10;

int N;

int b[MAX], tot;
int pos(int x) { return lower_bound(b + 1, b + 1 + tot, x) - b; }

pll c[MAX];
void update(int p, ll k) { for (; p <= tot; p += lowbit(p)) c[p].first += 1, c[p].second += k; }
pll query(int p) {
    pll res = make_pair(0, 0);
    for (; p; p -= lowbit(p)) res.first += c[p].first, res.second += c[p].second;
    return res;
}

struct Node {
    ll x, v;
    bool operator < (const Node &rhs) const {
        return x < rhs.x;
    }
} a[MAX];

int main() {
    //按x排序
    //查v[j] <= v[i]的cnt及sum
    scanf("%d", &N);
    for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%lld", &a[i].x);
    for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%lld", &a[i].v), b[++tot] = a[i].v;//速度离散化一下
    sort(a + 1, a + 1 + N);
    sort(b + 1, b + 1 + tot);
    tot = unique(b + 1, b + 1 + tot) - (b + 1);
    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        pll t = query(pos(a[i].v));//查找小于等于当前速度的cnt和sum
        ans += t.first * a[i].x - t.second;//答案加上贡献
        update(pos(a[i].v), a[i].x);//再将当前点放入树状数组
    }
    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}
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