CF1311F - Moving Points
题意
N
N
N个点,全部都在
X
X
X轴上,每一个点有给出起始点
x
i
x_i
xi和速度
v
i
v_i
vi,如果现在过去时间为
t
t
t,那么这个点就在
x
i
+
t
v
i
x_i+tv_i
xi+tvi,这里时间是无穷无尽的
现在有
d
(
i
,
j
)
d(i,j)
d(i,j)表示点
i
i
i和点
j
j
j在所有时间内最小的距离
求所有点对的
d
(
i
,
j
)
d(i,j)
d(i,j)之和,即
∑
1
≤
i
<
j
≤
N
d
(
i
,
j
)
\displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq N} d(i,j)
1≤i<j≤N∑d(i,j)
题解
这题没有很难,比较简单
因为时间是无穷无尽的,所以任意两个点
i
,
j
i,j
i,j的关系只有三种情况
令
x
j
<
x
i
x_j<x_i
xj<xi
①不断靠近,最后相交然后远离
显然,因为相交了, d ( i , j ) = 0 d(i,j)=0 d(i,j)=0
同向运动,后面的点速度快,即
v
j
>
v
i
v_j>v_i
vj>vi
反向运动,前面的点向右
v
i
<
0
v_i<0
vi<0,后面的点向左
v
j
>
0
v_j>0
vj>0,即
v
j
>
v
i
v_j>v_i
vj>vi
所以这两个都是
v
j
>
v
i
v_j>v_i
vj>vi
②不断远离
那么初始位置就是最小值,即 d ( i , j ) = x i − x j d(i,j)=x_i-x_j d(i,j)=xi−xj
同向运动,后面的慢,前面的快,即
v
j
<
v
i
v_j<v_i
vj<vi
反向运动,后面的点向左
v
j
<
0
v_j<0
vj<0,前面的点向右
v
i
>
0
v_i>0
vi>0,即
v
j
<
v
i
v_j<v_i
vj<vi
所以这两个都是
v
j
<
v
i
v_j<v_i
vj<vi
③距离保持不变
这种和②一样,
d
(
i
,
j
)
=
x
i
−
x
j
d(i,j)=x_i-x_j
d(i,j)=xi−xj
这个就是
v
j
=
v
i
v_j=v_i
vj=vi的情况
那么我们要求的
∑
d
(
i
,
j
)
\sum d(i,j)
∑d(i,j)里面,①是没有贡献的,只有②和③有贡献,还都是
d
(
i
,
j
)
=
x
i
−
x
j
d(i,j)=x_i-x_j
d(i,j)=xi−xj
对于一个点
i
i
i,我们要找初始距离比他小的里面,速度小于等于他的点
那么我们先按初始距离
x
i
x_i
xi排序,这样就是找前面的
v
j
≤
v
i
v_j\leq v_i
vj≤vi的点
j
j
j即可
那么就用树状数组维护两个值,一个是数量
c
n
t
cnt
cnt,一个是
x
i
x_i
xi的和
s
u
m
sum
sum
这样当前点
i
i
i的贡献就是,
c
n
t
∗
x
i
−
s
u
m
cnt*x_i-sum
cnt∗xi−sum
还有速度范围
−
1
0
8
≤
v
≤
1
0
8
-10^8\leq v \leq 10^8
−108≤v≤108,所以离散化一下
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pll;
const int MAX = 2e5 + 10;
int N;
int b[MAX], tot;
int pos(int x) { return lower_bound(b + 1, b + 1 + tot, x) - b; }
pll c[MAX];
void update(int p, ll k) { for (; p <= tot; p += lowbit(p)) c[p].first += 1, c[p].second += k; }
pll query(int p) {
pll res = make_pair(0, 0);
for (; p; p -= lowbit(p)) res.first += c[p].first, res.second += c[p].second;
return res;
}
struct Node {
ll x, v;
bool operator < (const Node &rhs) const {
return x < rhs.x;
}
} a[MAX];
int main() {
//按x排序
//查v[j] <= v[i]的cnt及sum
scanf("%d", &N);
for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%lld", &a[i].x);
for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%lld", &a[i].v), b[++tot] = a[i].v;//速度离散化一下
sort(a + 1, a + 1 + N);
sort(b + 1, b + 1 + tot);
tot = unique(b + 1, b + 1 + tot) - (b + 1);
ll ans = 0;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
pll t = query(pos(a[i].v));//查找小于等于当前速度的cnt和sum
ans += t.first * a[i].x - t.second;//答案加上贡献
update(pos(a[i].v), a[i].x);//再将当前点放入树状数组
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}