Atiyah关于任意域都可以扩充成一个代数闭域的证明

最近了解到“任意域都可以扩充成一个代数闭域”这个结论。第一次见到它时我感到很吃惊，于是很想知道它是怎么被证明的。
后来一位学长给我看了一下Atiyah的《交换代数导引》里的证明，感觉证明并不严谨，甚至有逻辑混乱，伪证的嫌疑。也有可能是我的水平不够理解他省略的内容。有兴趣者欢迎找我讨论。原证明是英文，本人翻译如下：（如有纰漏，敬请指正）
$证明：$
设A是任意一个域，令B是A的所有首一不可约多项式的集合，C是A上的多项式环。
现在对B进行一些调整。我们考虑任意的f∈B，进行规定：把f的不定元设置成$x_f$。也就是说我们区别B中所有多项式的不定元。
接下来，我们令D是B在C上生成的理想。又由于B是不可约多项式集，而且每个不可约多项式的不定元都被区分。那么，D成为C的一个极大理想。
（本人：我们知道，如果不对多项式的元加以区分，那么一个不可约多项式生成的理想是一个极大理想。而且此时这个商环构成一个域，且这个不可约多项式在多项式环对这个理想的商环上有一个根。我认为这里Atiyah的意思是：加以区分不定元之后，C中的每一个多项式应该被拆分成不可约多项式的乘积，并且拆分之后，每一个不可约多项式中的不定元改成B中规定的那个不定元。例如在B中规定了$f(x_f)=x_f-1,g(x_g)=x_g+1$那么，$C中h(x)=x^2-1=f(x)g(x)=(x_f-1)(x_g+1)$那么问题来了，这时候D为什么是一个极大理想？C/D是一个域还成立吗？每一个多项式都有一个根还成立吗？这些地方需要好好补充一下。)
这时候B我们考虑C在D上做的商环C/D。那么就有C/D构成一个域，而且每个不可约多项式都在C/D上有一个根。令$K_1=C/D$显然它为C的扩域。那么，再对$K_1$进行类似的扩充。最后令$K=li{m}_{n\to \infty }{K}_n$。那么K就是A的代数闭域。
$证毕。$
（这一个地方让我觉得很奇怪。这样的K真的能通过取极限得到吗？换句话说，$K_n$收敛吗？每做一次扩域，只是保证了原来的每个不可约多项式都有一个根出现，而新的域里，多项式会变得更多，新的多项式的根却无法保证。这样的扩充结果很可能是发散的。）
如果有想法的人可以来和我讨论。