Week 14 E - Q老师度假

Q老师度假

忙碌了一个学期的 Q老师 决定奖励自己 N 天假期。

假期中不同的穿衣方式会有不同的快乐值。

已知 Q老师 一共有 M 件衬衫，且如果昨天穿的是衬衫 A，今天穿的是衬衫 B，则 Q老师 今天可以获得 f[A][B] 快乐值。

在 N 天假期结束后，Q老师 最多可以获得多少快乐值？

Input

输入文件包含多组测试样例，每组测试样例格式描述如下：

第一行给出两个整数 N M，分别代表假期长度与 Q老师 的衬衫总数。（2 ≤ N ≤ 100000, 1 ≤ M ≤ 100）

接下来 M 行，每行给出 M 个整数，其中第 i 行的第 j 个整数，表示 f[i][j]。（1 ≤ f[i][j] ≤ 1000000）

测试样例组数不会超过 10。

Output

每组测试样例输出一行，表示 Q老师 可以获得的最大快乐值。

Sample Input

3 2
0 1
1 0
4 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3

Sample Output

2
9

问题分析

天数连续，很明显有子结构的性质，可以考虑 DP ， n 不是很大，因此不一定是矩阵快速幂优化，先列出 DP 状态和 DP 转移方程再进行判断。
此令𝑓[𝑖][𝑗]表示第 i 天，穿的衣服为 j 所获得的快乐 值总和.
根据 DP 状态，不难得到如下的转移方程, 枚举前一天穿的衣服为 k，即

𝑓[𝑖][𝑗]=max(𝑓[𝑖−1][𝑘]+𝐻[𝑘][𝑗]),1≤𝑘≤𝑀

矩阵快速幂转化：

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int n, m;

struct Matrix {
	long long int v[105][105];
	Matrix() {memset(v, 0, sizeof(v));}
	
	Matrix operator *(Matrix const &b) const 
	{
		Matrix ret;
		for (int i = 0; i < m; i++)
		{
			for (int j = 0; j < m; j++)
			{
				ret.v[i][j] = 0;
				for (int k = 0; k < m; k++)
				{
					ret.v[i][j] = max(ret.v[i][j], v[i][k]+b.v[k][j]);
				}
			}
				
		}			
		return ret;
	}
	
};

Matrix quick_pow(Matrix a, int x) 
{
	Matrix ret ;
	while (x) {
		if (x & 1)
			ret = ret * a;
		a = a * a;
		x >>= 1;
	}
	return ret;
} 

int main() 
{
	while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) 
	{
		Matrix a,f;
		for(int i=0; i<m; i++)
		    for(int j=0; j<m; j++)
		        scanf("%d",&a.v[i][j]);
		
		f = quick_pow(a,n-1);
		
		long long int ans =0 ;
		for(int i=0; i<m; i++)
		    for(int j=0; j<m; j++)
		        ans = max(ans, f.v[i][j]);
		
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}