最长公共子序列问题(动态规划) SDUT

最长公共子序列问题

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Problem Description

给定两个序列 X={x1,x2,…,xm} 和 Y={y1,y2,…,yn},找出X和Y的最长公共子序列。

Input

输入数据有多组,每组有两行 ,每行为一个长度不超过500的字符串(输入全是大写英文字母(A,Z)),表示序列X和Y。

Output

每组输出一行,表示所求得的最长公共子序列的长度,若不存在公共子序列,则输出0。

Sample Input

ABCBDAB
BDCABA

Sample Output

4

 

### SDUT C语言实验中最长公共子序列 (LCS) 问题解法 #### 动态规划方法概述 动态规划(Dynamic Programming, DP)是一种常用的算法设计技术,适用于解决最优化问题。在处理字符串匹配类问题时,动态规划尤为有效。对于最长公共子序列(Longest Common Subsequence, LCS)问题,其核心在于通过构建一个二维表格 `dp` 来记录两个字符串之间的状态关系。 设给定的两个字符串分别为 \( X \) 和 \( Y \),长度分别为 \( m \) 和 \( n \)。定义二维数组 `dp[i][j]` 表示字符串 \( X[1..i] \) 和 \( Y[1..j] \)最长公共子序列的长度,则可以得到如下转移方程: \[ dp[i][j] = \begin{cases} 0 & \text{if } i=0 \text{ or } j=0 \\ dp[i-1][j-1]+1 & \text{if } X[i]=Y[j] \\ \max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) & \text{otherwise } \end{cases} \] 最终的结果即为 \( dp[m][n] \)[^1]。 #### 实现代码 以下是基于上述理论实现的一个标准 C 语言程序: ```c #include <stdio.h> #include <string.h> void lcs(char *X, char *Y, int m, int n) { int dp[m+1][n+1]; // 初始化 dp 数组 for(int i = 0; i <= m; i++) { for(int j = 0; j <= n; j++) { if(i == 0 || j == 0) dp[i][j] = 0; else if(X[i-1] == Y[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1; else dp[i][j] = (dp[i-1][j] > dp[i][j-1]) ? dp[i-1][j] : dp[i][j-1]; } } printf("Length of Longest Common Subsequence is %d\n", dp[m][n]); } int main() { char X[] = "AGGTAB"; char Y[] = "GXTXAYB"; int m = strlen(X); int n = strlen(Y); lcs(X, Y, m, n); return 0; } ``` 此代码实现了计算两字符串之间最长公共子序列的功能,并打印出该子序列的长度。 #### 复杂度分析 时间复杂度主要由嵌套循环决定,由于需要遍历整个二维表,故时间为 \( O(m \times n) \)。空间上也需要开辟大小为 \( (m+1) \times (n+1) \) 的辅助矩阵用于存储中间结果,因此空间复杂度亦为 \( O(m \times n) \)。 ---
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