记录一些CF-DP题(qwq)

CodeForces 1195C Basketball Exercise

• 题意：有两排小哥哥，每排都有$n$个小哥哥。我们要从这$2n$个小哥哥里选择任意个，使得这些小哥哥的身高总和最大（花痴脸）. 限制我们选择的小哥哥不能是一排中相邻的两个。
• 思路：定义$dp[][3]$其中$dp[pos][0]$表示$pos$位置上不选人，$dp[pos][1]$表示选择$pos$位置上第一排的小哥哥，$dp[pos][2]$表示选择$pos$位置上第二排的小哥哥。
• 很容易得到$dp$方程如下：

1. $dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1],dp[i-1][2]);$ //这个位置不选，那么上个位置不选或选谁都无所谓
2. $dp[i][1]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][2])+h[0][i];$ //第$i$位选第一排的，那么第$i-1$位上一定不能选第一排的
3. $dp[i][2]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1])+h[1][i];$ //第$i$位选第二排的，那么第$i-1$位上一定不能选第二排的

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CodeForces 1207C Gas Pipeline

• 题意：来，我们铺管道，立柱子！一个单位的管道需要花费$a$，一个单位的柱子需要花费 $b$. 但是呢，不是所有时候都天时地利人和的，所以如果遇到路口，那么就要必须要架高管道。给出一个$01$串，如果对应位上是$1$说明必须将管道架高到高度2. 问最小花费是多少呢？【建议结合第二个样例理解题意】
• 思路：必要的花费是$must=a\ast n+b\ast (n+1)$，这个毋庸置疑。我们可以调整的是：在0的地方我们是选择继续在高度为2的地方继续铺管道，还是选择下降到高度为1的地方铺管道呢？
  – 如果是$00$那么我们可以上升，消耗是$a+b$，因为既需要管道也需要柱子；也可以保持高度1，消耗为0
  – 如果是$01$那么我们就必须上升，消耗是$a+b$
  – 如果是$10$那么我们可以下降，消耗是$a$，也可以保持高度$2$，消耗是$b$
  – 如果是$11$那么我们必须保持高度2，消耗是$b$
• 由此我们可以很容易想到定义$dp[pos][2]$，其中$dp[pos][0]$是操作$pos$位的管道在高度1，$dp[pos][1]$是操作$pos$位的管道在高度2. 那么：

1. 如果$pos$位是$1$ //那该位置不可能为0
   – $dp[pos][0]=INF;$
   – $dp[pos][1]=min(dp[pos-1][0]+a+b,dp[pos-1][1]+b);$
2. 如果$pos$位是$0$
   – $dp[pos][0]=min(dp[pos-1][1]+a+b,dp[pos-1][0]);$
   – $dp[pos][1]=min(dp[pos-1][0]+a+b,dp[pos-1][1]+b);$

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CodeForces 1312E Array Shrinking

• 题意：相邻的两个相等的数x可以合并为x+1，问可以通过合并操作得到的数列最小长度？
• 思路：我们定义$dp[r]$表示区间$[1,n]$可缩并得到的最小长度。对于右端点$r$，我们可以从右端点开始枚举左端点$l$，看区间$[l,r]$是不是可以被合并为长度1. 如果可以显然$dp[r]=dp[l-1]+1$.

那么我们如何判断一个区间是不是可以被合并呢？
这个思路的重点是什么？是从右端点开始枚举左端点 .

我们定义now为枚举到的左端点$a[l]$，并且定义一个栈，栈中的内容是我们枚举到的区间$[l,r]$缩并完之后的剩下的值。那么对于当前枚举到的$l$来说，是不是栈中的元素是区间$[l+1,r]$缩并后的？

显然，如果now等于栈顶元素，那么就踢掉栈顶(合并栈顶元素和now)，now自增1. 直到now不能合并为止（包括两种情况：栈空 或者 now $\ne$ 栈顶元素）

这个写法，大家可以自行考虑~hhh，窝觉得超级妙欸

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CodeForces 1221D Make The Fence Great Again

• 题意：有$n$个木板，我们必须要使得相邻两个木板的高度不同。增高木板不限次，问最小花费？
• 思路：我们可以发现，每块木板的高度增加一定不会超过两次。（可以自己举例验证）所以我们我们可以选择定义数组$dp[pos][3]$（0\1\2分别表示保持原高度，高度增加1，高度增加2）表示截止到位置$pos$，并且位置$pos$的木板增加高度0\1\2的最小花费。
• 我们遍历一遍所有的木板

1. 如果$pos$位置上的木板和前面的木板高度相同，那么$dp[pos][h]=min(dp[pos-1][add]+add\ast cost[i]),其中add\ne h$.
2. 如果不相同，那么首先$dp[pos][add]=dp[pos-1][add]+add\ast cost[i]$，然后判断当前木板可行的其他两个高度是不是和前一个木板相同。

• 举个栗子
  首先继承：$dp[pos][2]=dp[pos-1][2]+2\ast cost[pos]$，然后判断其他两个高度$height[pos-1]$和$height[pos-1]+1和height[pos]+2$是不是相同，如果不相同，那么更新$dp[pos][2]$为可能的最小值【注意要用$dp[pos-1][]+2\ast cost[pos]$再和$dp[pos][2]$比较】。$dp[pos][0]$和$dp[pos][1]$类似。

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