Luogu P4568 [JLOI2011]飞行路线【题解】（分层图最短路模板）

最新推荐文章于 2024-11-14 21:16:14 发布

_Desolate

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分类专栏：题解文章标签：题解分层图最短路

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本文介绍了一种解决特定最短路径问题的算法——分层图最短路径算法，适用于有免费乘坐次数限制的路线规划问题。文章通过实例讲解了如何在图中构建多层以利用免费机会，最终实现从起点到终点的最低成本路径计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

$A l i c e$ 和 $B o b$ 现在要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在 $n$ 个城市设有业务，设这些城市分别标记为 $0$ 到 $n - 1$ ，一共有 $m$ 种航线，每种航线连接两个城市，并且航线有一定的价格。

$A l i c e$ 和 $B o b$ 现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市，途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推出优惠，他们可以免费在最多 $k$ 种航线上搭乘飞机。那么 $A l i c e$ 和 $B o b$ 这次出行最少花费多少？

输入输出格式

输入格式：

数据的第一行有三个整数， $n$ ， $m$ ， $k$ ，分别表示城市数，航线数和免费乘坐次数。
第二行有两个整数， $s$ ， $t$ ，分别表示他们出行的起点城市编号和终点城市编号。
接下来有m行，每行三个整数， $a$ ， $b$ ， $c$ ，表示存在一种航线，能从城市 $a$ 到达城市 $b$ ，或从城市 $b$ 到达城市 $a$ ，价格为 $c$ 。

输出格式：

只有一行，包含一个整数，为最少花费。

输入输出样例

输入样例#1：

5 6 1
0 4
0 1 5
1 2 5
2 3 5
3 4 5
2 3 3
0 2 100

输出样例#1：

8

说明

对于30%的数据, $\le n \le 50$ , $\le m \le 300$ , $k = 0$ ,
对于50%的数据, $\le n \le 600$ , $\le m \le 6000$ , $0≤k≤10\le k \le 1$ ;
对于100%的数据, $\le n \le 10000$ , $\le m \le 50000$ , $0 \leq k \leq 10$ ,
$\le c \le 10000≤s,t<n$ , $0 \leq a$ , $b < n$ , $a ̸ = b$ , $0 \leq c \leq 1000$

今上午考试考了这道题，数组开小了 $Q A Q$

这道题是分层图最短路问题
就是说在最短路的基础上有几条边的代价可以修改为零。

基本模型：

在给定的图上,有k次机会可以直接通过一条边,问起点与终点之间的最短路径

这样的题好像都挺裸的

做法是分层，
这里详细说一下吧

我们建立第 $0$ 层至第 $k$ 层一共 $k + 1$ 层图，每一层的边都是一样的，第 $i$ 层表示用掉 $i$ 次机会所能到达的最小价值。

int u=read()+1,v=read()+1,w=read();//因为此题点从0开始,个人习惯从1开始,就+1
for(int j=0;j<=k;++j){
	add_edge(u+j*n,v+j*n,w);
	add_edge(v+j*n,u+j*n,w);//每n个一层
}

像这样。

然后在每层图之间建边，因为有 $k$ 次机会，所以，把第 $i$ 层的节点建一条通往 $i + 1$ 层的边，边权为 $0$ 。

for(int j=0;j<k;++j)
	add_edge(u+j*n,v+j*n+n,0),add_edge(v+j*n,u+j*n+n,0);

至此，边就建完啦！

然后就是一个一丁都不用改的最短路（个人推荐堆优 $d i j k s t r a$ )

~~(关于SPFA，它死了)~~

对了！点数组的大小要开 $k + 1$ 倍！上午考试只开了 $k$ 倍挂了一个点 $Q A Q$

奉上完整代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pairs;
priority_queue<pairs,vector<pairs>,greater<pairs> > q;
inline int read(){
	int x=0,f=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))f|=ch=='-',ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
int head[110007],cnt;
bool vis[110007];
int dis[110007];
int n,m,k,s,t,ans=99999999;
struct Edge{
	int next,to,w;
}edge[20000007];
inline void add_edge(int from,int to,int w){
	edge[++cnt].next=head[from];edge[cnt].w=w;
	edge[cnt].to=to;head[from]=cnt;
}
inline void dijkstra(){
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	dis[s]=0;q.push(make_pair(dis[s],s));
	while(!q.empty()){
		int x=q.top().second;q.pop();
		if(vis[x])continue;vis[x]=1;
		for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
			int to=edge[i].to;
			if(dis[to]>dis[x]+edge[i].w){
				dis[to]=dis[x]+edge[i].w;
				q.push(make_pair(dis[to],to));
			}
		}
	}
}
int main(){
//	freopen("pass.in","r",stdin);
//	freopen("pass.out","w",stdout);
	n=read(),m=read(),k=read();
	s=read()+1,t=read()+1;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int u=read()+1,v=read()+1,w=read();
		for(int j=0;j<k;++j)add_edge(u+j*n,v+j*n+n,0),add_edge(v+j*n,u+j*n+n,0);
		for(int j=0;j<=k;++j){
			add_edge(u+j*n,v+j*n,w);
			add_edge(v+j*n,u+j*n,w);
		}
	}
	dijkstra();
	for(int i=0;i<=k;++i)ans=min(ans,dis[t+i*n]);
	printf("%d",ans);
//	fclose(stdin);fclose(stdout);
	return 0;
}