Burnside引理与Polya定理

基本概念

置换
形如：

其实和映射差不多，$1$映射为$p_1\dots$。

循环置换
形如：

如果根据映射关系画一张图的话，循环置换的图应该是如下形式：

两者的关系：
任何一个置换都可拆成若干个循环置换的乘积。

置换群
从$1-n$所有的置换方式应该有$n!$种，包含其中若干种置换方式的群称为置换群。

$Burnside$引理

概念
每个置换的不动点个数的平均值就是不同的方案数。

不动点可以通过下面这个例子理解：

假设现在对于一个环的染色方案如下：

我们现在使用的置换方式是：

左右对称置换。
可以发现，置换前后，环相同。那么我们称环的这种染色方案是这个置换的不动点。

我们对每种置换方式都求出它的不动点的个数，最后的平均值就是染色不同的方案数。

$Polya$定理

该定理形象的表示：
对于上面珠子的染色方式来说，可以发现，存在如下4个循环置换：

我们能够发现，对于一个循环置换来说，其内部的珠子颜色一定相同。

如果这些循环置换之间相互独立，互不影响，那么不动点的个数就是$c^k$，这里$c$是每个珠子的染色种类，也就是每个循环置换的方案数，$k$是这个置换包含的循环置换的数量。

这样在$Burnside$引理的基础上，$Polya$定理将求每个置换的不动点的数量简化成一个公式。

不过要注意，使用$Polya$定理的前提是这些循环置换之间相互独立。